不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \cos }^{3}x\sin xdx } }$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ \cos }^{4}x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \cos }^{3}x\sin xdx } }$

$3$\displaystyle{ \cos x=t }$ とおき，置換積分法で計算を進める．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x}$ →　 $3$\displaystyle{\sin xdx=- dt}$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {t}^{3}\left({ - 1 }\right)dt }}$

$3$\displaystyle{ =- \displaystyle{ \int {t}^{3}dt } }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{t}^{ 3+1 }+C }$

（(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{t}^{4}+C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ \cos }^{4}x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

（ $3$\displaystyle{ t=\cos x }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ に戻した）

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \cos }^{3}x\sin xdx } }$

最終更新日： 2025年6月9日