不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 12{x}^{ 5 }- 15{x}^{ 4 } $ dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ 2{x}^{ 6 }- 3{x}^{ 5 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 12{x}^{ 5 }- 15{x}^{ 4 } $ dx } }$

積分の線形性より，与式を以下のように式を変形する

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int 12{x}^{5}dx }+\displaystyle{ \int 15{x}^{4}dx }}$ $3$\displaystyle{=12\displaystyle{ \int {x}^{5}dx }+15\displaystyle{ \int {x}^{4}dx }}$

ヒントの(1)より

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\hspace{2} 5+1 \hspace{2}}{x}^{ 5+1 }- \frac{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{\hspace{2} 4+1 \hspace{2}}{x}^{ 4+1 }+C }$

$3$\displaystyle{ =2{x}^{ 6 }- 3{x}^{ 5 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ 2{x}^{ 6 }- 3{x}^{ 5 }+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ 12{x}^{ 5 }- 15{x}^{ 4 } }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年7月31日