不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 2x- 1 \hspace{2}}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| 2x- 1 \| +C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx=\log \|x\| +C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 2x- 1 \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ 2x- 1=t }$ とおき，置換積分を用いて計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2}$ 　→　 $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt } }$

( $3$\displaystyle{ 2x- 1=t }$ ， $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ を与式に代入した)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt } }$

（ $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int } }$ の前に数字が来るのは不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \|t\| +C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

（ヒントの式(1) を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| 2x- 1 \| +C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

( $3$\displaystyle{ t=2x- 1 }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ に戻した)

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| 2x- 1 \| +C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 2x- 1 \hspace{2}} }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日