不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int x{ $ {x}^{2}+1 $ }^{3}dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{ $ {x}^{2}+1 $ }^{4}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int x{ $ {x}^{2}+1 $ }^{3}dx } }$

$3$\displaystyle{ {x}^{2}+1=t }$ と置いて，置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2x}$ →　 $3$\displaystyle{xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {t}^{3}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}dt } }$

( $3$\displaystyle{ {x}^{2}+1=t }$ ， $3$\displaystyle{xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$ を与式に代入した)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int {t}^{3}dt } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{t}^{ 3+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

(基本となる関数の積分参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{t}^{4}+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{ $ {x}^{2}+1 $ }^{4}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

( $3$\displaystyle{ t={x}^{2}+1 }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ に戻した )

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{ $ {x}^{2}+1 $ }^{4}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ x{ $ {x}^{2}+1 $ }^{3} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日