不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+6x+9 \hspace{2}}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+6x+9 \hspace{2}}dx } }$

被積分関数を

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+6x+9 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+3 $ }^{2} \hspace{2}} }$

と変形する．

$3$\displaystyle{ x+3=t }$ と置き，置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ →　 $3$\displaystyle{ dx=dt }$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{2} \hspace{2}}dt } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {t}^{ - 2 }dt } }$

( $3$\displaystyle{ x+3=t }$ ， $3$\displaystyle{ dx=dt }$ を代入した)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - 2+1 \hspace{2}}{t}^{ - 2+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

（ヒントの公式(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =- {t}^{ - 1 }+C }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

( $3$\displaystyle{ x+3=t }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ に戻した )

●備考

この公式

$3$\displaystyle{\int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} F $ ax+b $ +C }$

を使ってもよい．

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ x+3 $ }^{3}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+6x+9 \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年1月29日