部分積分の問題
■問題
次の問題を積分せよ(不定積分)．
%20%20dx%20%20})
■解説動画
■答
%20%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20-%202x+C})
（
は積分定数）
■ヒント
部分積分法
%20%20g%20%5c(x%5c)%20%20dx%20%20})
%20%20g%20%5c(x%5c)%20%20-%20%5cint%20%20f%20%5c(x%5c)%20%20{g}^{%5cprime%20}%20%5c(x%5c)%20%20dx%20%20})
を用いる．
■解説
%20%20}^{%5cprime%20}=2})
より
%20%20=2x+1})
，
%20%20=%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20})
として部分積分を行う．
%20%20%20%20}^{%5cprime%20}%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20dx%20%20})
（ この式は公式の左辺の
に対応する）
%20%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20})
%20%20{%20%20%5c{%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20%20%20%5c}%20%20%20%20}^{%5cprime%20}dx%20%20})
（この式は公式の右辺の
%20%20g%20%5c(x%5c)%20%20-%20%5cint%20%20f%20%5c(x%5c)%20%20{g}^{%5cprime%20}%20%5c(x%5c)%20%20dx%20%20%20%20})
に対応する）
%20%20%5ccdot%20%5cfrac{%5chspace{2}2%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20%20%20%5chspace{2}}dx%20%20})
（
%20%20%20%20})
の微分はこの微分の計算が参考になる）
%20%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20-%202%5cint%20%20dx%20%20})
%20%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20-%202x+C})
■別解
与式
%20%20%20%20}^{%5cprime%20}%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20dx%20%20%20%20})
%20%20%20%20%20%20})
%20%20%20%20%5c}%20%20%20%20}^{%5cprime%20}dx%20%20})
%20%20-%20%5cint%20%202x%20%20%5cfrac{%5chspace{2}2%5chspace{2}}{%5chspace{2}%202x+1%20%20%5chspace{2}}dx%20%20})
%20%20-%20%5cint%20%20%5cfrac{%5chspace{2}%204x%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%202x+1%20%20%5chspace{2}}%20%20dx%20%20})
ここで
%20%20dx%20%20%20%20})
%20%20%20%20})
%20%20%20%20})
となる．よって
%20%20-%20%20%5c{%202x-%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20%20%20%5c}%20%20%20%20})
%20%20%5clog%20%20%5c(%202x+1%20%20%5c)%20%20-%202x+C})
■確認問題
求まった答え
を微分し，積分前の式
%20%20%20%20})
に戻ることを確認しなさい．
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題 >>
最終更新日：
2025年8月21日