部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{\int \sqrt{ {x}^{2}+5 }dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x\sqrt{ {x}^{2}+5 }+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| $ +C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

$3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }=1}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ =x}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ =\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int \sqrt{ {x}^{2}+5 }dx }$

$3$\displaystyle{=\int { $x$ }^{\prime }\sqrt{ {x}^{2}+5 } dx}$ （この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }- \int x{ \{ { $ {x}^{2}+5 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \} }^{\prime }dx }$

（この式は公式の左辺 $3$\displaystyle{ =f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ $3$\displaystyle{- \int x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 2x{ $ {x}^{2}+5 $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }$

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }- \int \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }- \int \frac{\hspace{2} {x}^{2}+5- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx }$

（ $3$\displaystyle{5- 5=0}$ なので，式の値は変らない）

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ $3$\displaystyle{- \int $ \frac{\hspace{2} {x}^{2}+5 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} $ dx }$

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ $3$\displaystyle{- \int $ \sqrt{ {x}^{2}+5 }- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} $ dx }$

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ $3$\displaystyle{- \int \sqrt{ {x}^{2}+5 }dx+\int \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} dx }$

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ $3$\displaystyle{- \int \sqrt{ {x}^{2}+5 }dx +5\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ $3$\displaystyle{- \int \sqrt{ {x}^{2}+5 } dx+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| }$

（ $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx =\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| }$ の計算過程は，積分の公式を使った問題 $3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} dx }$ を参照）

ここで，右辺の式の中に左辺の式が含まれている．よって，左辺の式を $3$\displaystyle{I}$ として計算を進める．

$3$\displaystyle{I=\int \sqrt{ {x}^{2}+5 } dx}$ とおく

$3$\displaystyle{I=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }- I+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| }$

$3$\displaystyle{2I=x\sqrt{ {x}^{2}+5 }+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| }$

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x\sqrt{ {x}^{2}+5 }+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| $ }$

よって，積分定数 $3$C$ を加えて

$3$\displaystyle{\int \sqrt{ {x}^{2}+5 } dx}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x\sqrt{ {x}^{2}+5 }+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| $ +C}$

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x\sqrt{ {x}^{2}+5 }+5\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| $ +C}$ を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \sqrt{ {x}^{2}+5 } }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年8月18日