不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| +C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ {x}^{2}+ A }\hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{ =\log \mid x+ \sqrt{ {x}^{2}+ A } \mid + C}$ (ここを参照)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx }$

この問題では，公式の $3$\displaystyle{A}$ は $3$\displaystyle{5}$ より，これを公式にあてはめると

$3$\displaystyle{=\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| +C}$

■別解

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5}\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}} }\right) }^{2}+1 } \hspace{2}}dx}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}}=\tan t}$ （ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ ）とおき置換積分をする．

$3$\displaystyle{x= \sqrt{5} \tan t}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt}$ $3$\displaystyle{\tan t}$ の微分はここを参照

よって

与式＝ $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5} \sqrt{ { \tan }^{2}t+1 } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5} \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}} } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ では $3$\displaystyle{\cos x> 0}$ より，簡単に√を取り除くことができる．

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left({ \frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}} }\right)+C}$ この計算はここを参照

$3$\displaystyle{\sin t}$ を変数 $3$x$ で表す．以下のように計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\tan t}$ より

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5} \hspace{2}} }\right)}^{2}={\tan }^{2}t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}- 1}$ 三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+1=\frac{\hspace{2} {x}^{2}+5 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}t=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+5 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ 1- { \sin }^{2}t=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+5 \hspace{2}} }$ 三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}t=1- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+5 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+5 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \sin t=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}}$ を変数 $3$x$ で表す．以下のように計算する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 }- x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }- x }\right)\left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x }\right) }^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log 5+C }$

$3$\displaystyle{ =\log \left({ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x }\right)+{C}^{\prime } }$ この対数の計算公式を参照　･･････(3)

ただし， $3$\displaystyle{ {C}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log 5+C }$ とおいている．

$3$\displaystyle{ \sqrt{ {x}^{2}+5 }+x> 0 }$ より，絶対値をとらなくてもよい．

■確認問題

求まった答　 $3$\displaystyle{\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+5 } \| +C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+5 } \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日