積分　1/(x^2+A)^(1/2)

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+A } \hspace{2}} dx }$ 　　･･････(1)　　 $3$\displaystyle{ $ A\neq 0 $ }$

$3$\displaystyle{ \log }$ の微分の具体例で，ここを参照すると

$3$\displaystyle{ { \left{{ \log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+A } \| }\right} }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+A } \hspace{2}} }$

注：このサイトでは自然対数を $3$ lna$ ではなく， $3$ \log a$ と表記するようにしている．

とあるので，これを利用する．

積分は微分と逆の操作なので，(1)式は以下のようになる．

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+A } \hspace{2}}dx}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+A } \| +C}$ 　･･････(2)

■別解

$3$\displaystyle{A> 0}$ のとき

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+A } \hspace{2}}dx }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ 　ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$

$3$\displaystyle{A< 0}$ のとき

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+A } \hspace{2}}dx }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ 　ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$

とおいて，それぞれ積分をする．

● $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ （ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ）の場合

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }^{2}+1 } \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\tan t}$ （ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ ）とおき置換積分をする．

$3$\displaystyle{x=a\tan t}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt}$ 　 $3$\displaystyle{\tan t}$ の微分はここを参照

よって

与式＝ $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ { \tan }^{2}t+1 } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}} } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ では $3$\displaystyle{\cos t> 0}$ より，簡単に√を取り除くことができる．

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left({ \frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}} }\right)+C}$ 　この計算はここを参照

$3$\displaystyle{\sin t}$ を変数 $3$x$ で表す．以下のように計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\tan t}$ より

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right)}^{2}={\tan }^{2}t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}- 1}$ 　三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}={\left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right)}^{2}+1=\frac{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}t=\frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{1- {\sin }^{2}t=\frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}}$ 　三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}t=1- \frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\sin t=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}}}$ 　(∵ $3$ \sin t$ と $3$ \tan t$ は同符号 )

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}}$ を変数 $3$x$ で表す．以下のように計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }- x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }- x }\right)\left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {\left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x }\right)}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {a}^{2}+C}$ 　この対数の計算公式を参照

$3$\displaystyle{=\log \left({ \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x }\right)+{C}^{\prime }}$ 　この対数の計算公式を参照　･･････(3)

ただし， $3$\displaystyle{{C}^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {a}^{2}+C}$ とおいている．

$3$\displaystyle{\sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }+x> 0}$ より，絶対値をとらなくてよい．

● $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ （ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ）の場合

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }^{2}- 1 } \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}}$ （ $3$\displaystyle{0< t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< t< {\pi}}$ ）とおく．

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} a\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2} a\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt}$ 　この微分の公式を参照

よって

与式＝ $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}- 1 } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} a\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ { \tan }^{2}t } \hspace{2}}\cdot a\tan t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt }}$ 　･･････(4)

$3$\displaystyle{0< t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき $3$\tan t> 0$ ，よって，(4)は

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\tan t \hspace{2}}\cdot a\tan t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left({ \frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}} }\right)+C}$ 　この計算はここを参照　･･････(5)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< t< {\pi}}$ のとき $3$\tan t< 0$ ，よって，(4)は

$3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\left({ - \tan t }\right) \hspace{2}}\cdot a\tan t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left({ \frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}} }\right)+C}$ 　この計算はここを参照　･･････(6)

$3$\displaystyle{\sin t}$ を変数 $3$x$ で表す．以下のように計算する．

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \cos t \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right)}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}t=\frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{1- {\sin }^{2}t=\frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}}$ 　三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}t=1- \frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {x}^{2}- {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{0< t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{\sin t=\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< t< {\pi}}$ のとき

$3$\displaystyle{\sin t=- \frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}}$ を変数 $3$x$ で表す．以下のように計算する．

$3$\displaystyle{0< t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} x- \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right)\left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< t< {\pi}}$ のとき

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+\sin t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \sin t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x- \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ x- \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right)\left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{0< t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2} { \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {\left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right)}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {a}^{2}+C}$ 　この対数の計算公式を参照

$3$x> a$ であり， $3$x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} }> 0$ となる．

$3$\displaystyle{=\log \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right)+{C}^{\prime }}$ 　この対数の計算公式を参照　･･････(7)

ただし， $3$\displaystyle{{C}^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {a}^{2}+C}$ とおいている．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< t< {\pi}}$ のとき

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right) }^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {a}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {\left({ x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right)}^{2}+C}$

$3$x< - a$ となり， $3$\displaystyle{x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} }< 0}$ となる．よって

$3$\displaystyle{=\log \left({ - x- \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } }\right)+{C}^{\prime\prime }}$ 　この対数の計算公式を参照　･･････(8)

ただし， $3$\displaystyle{{C}^{\prime\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {a}^{2}+C}$ とおいている．

(3)，(7)，(8)を統合すると(2)になる．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>基本となる関数の積分>>積分　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+A } \hspace{2}} }$

学生スタッフ作成
最終更新日 2025年9月5日

積分 1/(x^2+A)^(1/2)

■別解

●（ただし，）の場合

● （ただし，）の場合

積分　1/(x^2+A)^(1/2)

● $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ （ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ）の場合

● $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ （ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ）の場合