逆関数の不定積分

■問題

次の不定積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { \tan }^{ - 1 }x }dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\hspace{5}x{\tan }^{ - 1 }x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $1+{x}^{2}$+C}$ （Cは不定積分）

■ヒント

部分積分法を利用して解く．

今回の問題は, $3$\displaystyle{f$x$}$ と $3$\displaystyle{g$x$}$ の関係を逆にした表現の[不定積分]を利用する.

■解説

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\displaystyle{ \int { \tan }^{ - 1 }xdx }& \vspace{6}\\ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int 1\cdot { \tan }^{ - 1 }xdx } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $x{$}^{\prime }\cdot { \tan }^{ - 1 }xdx } }$

$3$\displaystyle{=x\cdot {\tan }^{ - 1 }x- \displaystyle{ \int }x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}}dx}$

（復習:アークタンジェントの微分）

ここで

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }dx}ace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}$ ･････(1)

置換積分で， $3$\displaystyle{1+{x}^{2}=t}$ とおく．･････(2)

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると，

$3$\displaystyle{2x=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$ となる．･･････(3)

(1)に(2)(3)を代入して，

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2t \hspace{2}} }dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \|t\| +C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $ 1+{x}^{2} $ +C}$

よって

$3$\displaystyle{=x{\tan }^{ - 1 }x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $1+{x}^{2}$+C}$ （Cは不定積分）

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最終更新日： 2025年6月9日