基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{\log }}_{\text{2}}81\cdot \hspace{1}{\text{\log }}_{\text{3}}2}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{4}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■計算

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}81\cdot \hspace{1}{\log }_{3}2}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{3}^{4}\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=4\hspace{1}{\log }_{2}3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=4}$

■解説

これは対数どうしの掛け算である．式を簡単化するために，底の値を2に統一する．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{2}81\cdot \hspace{1}{ \log }_{3}2=\hspace{1}{ \log }_{2}81\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}a=1 }$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}81\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{2}81\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$

真数を $3$\displaystyle{{a}^{r}}$ の形に変形すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}81\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{2}{3}^{4}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ の公式を適用すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}{3}^{4}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=4\hspace{1}{\log }_{2}3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=4}$

ゆえに

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}81\cdot \hspace{1}{\log }_{3}2=4}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日