指数の大小関係の問題(1)

■問題

次の数を小さい方から順に並べよ．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 0.1 },\sqrt[3]{ 0.01 },\sqrt[5]{ 0.001 }}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\sqrt[3]{ 0.01 },\sqrt[5]{ 0.001 },\sqrt{ 0.1 }}$

■解説

まず，与えられた数字を指数を用いた表現にする．式変形はここを参照．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 0.1 }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { 10 }^{ - 1 } }}$ $3$\displaystyle{={ $ { 10 }^{ - 1 } $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\sqrt[3]{ 0.01 }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[3]{ { 10 }^{ - 2 } }}$ $3$\displaystyle{={ $ { 10 }^{ - 2 } $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\sqrt[5]{ 0.001 }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[5]{ { 10 }^{ - 3 } }}$ $3$\displaystyle{={ $ { 10 }^{ - 3 } $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$

この中から順に2つの数字の大小関係を調べていく．

a) $3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

両方の数はともに $3$\displaystyle{10}$ の累乗なので，指数を比較して大小関係を調べる．(ここを参照)

いま，各々の指数は $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ である．よって

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< 0}$

が成り立つ．したがって， $3$\displaystyle{10> 1}$ である．ゆえに

$3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }< {10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ となる．

なぜなら

$3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={ $ { 10 }^{ - 4 } $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{ { 10 }^{ - 4 } }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { 10 }^{4} \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{ 0.0001 }}$

$3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{={ $ { 10 }^{ - 3 } $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{ { 10 }^{ - 3 } }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { 10 }^{3} \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{ 0.001 }}$

$3$\displaystyle{0.0001< 0.001}$

すなわち

$3$\displaystyle{\sqrt[6]{ 0.0001 }< \sqrt[6]{ 0.001 }}$

$3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }< {10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

b) $3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} },{10}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

a)と同様に，両方の指数の大小関係から大小を比較する．

いま，各々の指数は $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ となり，

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}< 0 }$

である．よって

$3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }< {10}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$

となる．(理由はa)に示したのと同様の方法)

c) $3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} },{10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

両方の数はともに $3$\displaystyle{10}$ の累乗なので，指数を比較して大小関係を調べる．

いま，各々の指数は $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ である．よって

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< 0}$

が成り立つ．したがって， $3$\displaystyle{10> 1}$ である．ゆえに

$3$\displaystyle{{10}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }< {10}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

となる．(理由はa)に示したのと同様の方法)

a)，b)，c)より

$3$\displaystyle{\sqrt{ 0.1 },\sqrt[3]{ 0.01 },\sqrt[5]{ 0.001 }}$ を小さい順に並べると

$3$\displaystyle{\sqrt[3]{ 0.01 },\sqrt[5]{ 0.001 },\sqrt{ 0.1 }}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日