基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{9}\sqrt[\text{4}]{\text{3}}+\hspace{1}{ \log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }9 }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■解説

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{9}\sqrt[\text{4}]{\text{3}}+\hspace{1}{ \log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }9 }$

底の変換公式を用いて，底を $3$3$ にそろえる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\sqrt[4]{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}9 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}9 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}} }$

ここで

正の有理数の $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$ を指数とする場合から

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}\sqrt[4]{3}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

対数計算の基本から

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}9}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{3}^{2}}$ $3$=2$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{ - 1 } }$ $3$=- 1$

よって

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{ - 1 } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}- 2 }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年4月18日