対数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け

$3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{ \log }_{3}x $ }^{2}- 5\hspace{1}{\log }_{3}9x< - 4}$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{< x}$ $3$\displaystyle{< 729}$

■解説

$3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{ \log }_{3}x $ }^{2}- 5\hspace{1}{\log }_{3}9x}$ $3$\displaystyle{< - 4}$

ここで，与式の $3$\displaystyle{- 5\hspace{1}{\log }_{3}9x}$ を対数計算の基本を用いて式を簡単にする．

$3$\displaystyle{- 5\hspace{1}{\log }_{3}9x}$ $3$\displaystyle{ =- 5\left({ \hspace{1}{ \log }_{3}x+\hspace{1}{ \log }_{3}9 }\right) }$ 　（∵ $3$\hspace{1}{\log }_{a}RS=\hspace{1}{\log }_{a}R+\hspace{1}{\log }_{a}S$ ）

$3$\displaystyle{ =- 5\left({ \hspace{1}{ \log }_{3}x+\hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{2} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 5\left({ \hspace{1}{ \log }_{3}x+2\hspace{1}{ \log }_{3}3 }\right) }$ 　（∵ $3$\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R$ ）

$3$\displaystyle{ =- 5\left({ \hspace{1}{ \log }_{3}x+2 }\right) }$ 　（∵ $3$\hspace{1}{\log }_{a}a=1$ ）

$3$=- 5\hspace{1}{\log }_{3}x- 10$

よって，与式は

$3$\displaystyle{{\left({ \hspace{1}{ \log }_{3}x }\right)}^{2}- 5\hspace{1}{\log }_{3}x- 10< - 4}$

$3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{ \log }_{3}x $ }^{2}- 5\hspace{1}{\log }_{3}x- 6}$ $3$\displaystyle{< 0}$

と整理される．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}x=t}$ とおく

$3$\displaystyle{{t}^{2}- 5t- 6}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{ $ t- 6 $ $ t+1 $ }$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{- 1< t< 6}$

$3$t$ を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{3}x }$ に戻す．

$3$\displaystyle{- 1}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{3}x}$ $3$\displaystyle{< 6}$

ここで

$3$\displaystyle{- 1}$ $3$\displaystyle{=- 1\cdot \hspace{1}{\log }_{3}3}$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{ - 1 } }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{ \log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{6}$ $3$\displaystyle{ =6\hspace{1}{ \log }_{3}3 }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{3}^{6}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}729}$

より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{3}x}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{3}729}$

底が $3$3$ で $3$1$ より大きい．よって，真数を比較すると以下のようになる．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{< x}$ $3$\displaystyle{< 729}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年6月2日