対数不等式の問題

■問題

$3$\displaystyle{ { $ \hspace{1}{ \log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }x $ }^{2}- \hspace{1}{ \log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }x< 2 }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}< x< 2}$

■解き方

真数条件より

$3$\displaystyle{x> 0}$ ･･････(1)

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }x=X}$ とおく．

$3$\displaystyle{{X}^{2}- X< 2}$

$3$\displaystyle{{X}^{2}- X- 2< 0}$

$3$\displaystyle{ $ X- 2 $ $ X+1 $ < 0}$

よって

$3$\displaystyle{- 1< X< 2}$

$3$\displaystyle{- 1< \hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }x< 2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{ - 1 }< \hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ < \hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}}$

底の値 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ は， $3$\displaystyle{0< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< 1}$ より，真数の大小関係は対数の大小関係と逆になる.

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{ - 1 }> x> { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}< x< 2}$ ･･････(2)

(2)は(1)を満たす．

したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}< x< 2}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日