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基本的な指数方程式の問題

■問題

図は $3$y=3$ を漸近線とする指数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$y=- 6\cdot {2}^{x}+3$

または

$3$\displaystyle{y=- 3\cdot {2}^{ x+1 }+3}$

■ヒント

指数関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=c\cdot {a}^{x}+b}$ (指数関数の一般形)　･･････(1)

と表せることを用いる．

$3$\displaystyle{y={a}^{x}}$ グラフの漸近線は $3$x$ 軸である．よって， $3$y=c\cdot {a}^{x}$ のグラフの漸近線も $3$x$ 軸となる．

$3$y=c\cdot {a}^{x}+b$ のグラフは， $3$y=c\cdot {a}^{x}$ のグラフを $3$y$ 軸方向に $3$b$ 平行移動したものになる．

したがって， $3$y=c\cdot {a}^{x}+b$ のグラフの漸近線は， $3$y=b$ となる．

■解き方

漸近線が $3$y=3$ より

$3$b=3$

が得られ，(1)は

$3$\displaystyle{y=c\cdot {a}^{x}+3}$ ･･････(2)

となる．

グラフが点 $3$\left({ 0,- 3 }\right)$ を通ることより

$3$- 3=c\cdot {a}^{0}+3$ ･･････(3)

グラフが点 $3$\left({ - 1,0 }\right)$ を通ることより

$3$0=c\cdot {a}^{ - 1 }+3$ ･･････(4)

(3)，(4)を連立させて， $3$a$ ， $3$b$ を求める.

(3)より

$3$- 3=c\cdot 1+3$

$3$c=- 6$ ･･････(5)

が得られる．(5)を(4)に代入する．

$3$0=- 6{a}^{ - 1 }+3$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=3}$

$3$a=2$

となる.

以上より，グラフを表す指数関数の式は

$3$y=- 6\cdot {2}^{x}+3$ ･･････(6)

となる．(6)は更に式変形をすることもできる．

$3$\displaystyle{y=- 6\cdot {2}^{x}+3}$

$3$\displaystyle{=- \left({ 3\cdot 2 }\right)\cdot {2}^{x}+3}$

$3$\displaystyle{=- 3\cdot \left({ 2\cdot {2}^{x} }\right)+3}$

$3$\displaystyle{=- 3\cdot {2}^{ x+1 }+3}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日