基本的な指数方程式の問題

■問題

次の式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}- { \left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }^{2}- {3}^{ - 2 }+{ \left({ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }^{ - 1 } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$

■ヒント

累乗，指数計算の手順を参考にする．

■解き方

の各校ごとに計算をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\times 2\times 2 \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{- {\left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}^{2}=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\times \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{- {3}^{ - 2 }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2} \hspace{2}}}$ (指数が負の整数の場合 $3$\displaystyle{ {a}^{ - n }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}} }$ を利用する)

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}^{ - 1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}}$ (指数が負の整数の場合 $3$\displaystyle{ {a}^{ - n }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}} }$ を利用する)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 8- 4- 1+12 \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 5 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2025年4月18日