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基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{5}2x=- 1}$

■答

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

■ヒント

(1) $3$\displaystyle{- 1}$ を底 $3$\displaystyle{5}$ の対数にする

(2)対数方程式を指数方程式に書き換えて解く(別解)

■計算

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{5}2x}$ $3$\displaystyle{=- 1}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{\log }_{5}5}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{5}{5}^{ - 1 }}$

$3$\displaystyle{2x}$ $3$\displaystyle{={5}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

　 (真数条件， $3$\displaystyle{x> 0}$ を満たしている )

■解説

最初に真数条件を確認する．

$3$\displaystyle{2x> 0}$

すなわち

$3$\displaystyle{x> 0}$

方程式の右辺を底の値が $3$5$ の対数に変換する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{5}2x}$ $3$\displaystyle{=- 1}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{\log }_{5}5}$

となる．

$3$\displaystyle{ t\hspace{1}{ \log }_{a}R=\hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t} }$ の公式にあてはめると

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{\log }_{5}5}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{5}{5}^{ - 1 }}$

与式は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{5}2x}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{5}{5}^{ - 1 }}$

と変形できる．(以下，対数方程式の解法の2を参照）

$3$\displaystyle{2x}$ $3$\displaystyle{={5}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

(真数条件： $3$\displaystyle{x> 0}$ を満たしている)

(別解)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{5}2x=- 1}$

の関係を指数を用いて表すと(指数と対数の関係を参照)

$3$\displaystyle{{5}^{ - 1 }=2x}$

$3$\displaystyle{2x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{2x=2\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}> 0}$

となり $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$ は真数条件を満たしている．

したがって

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日