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# 複素数の積

2つの複素数$3 \hspace{1}{z}_{1}$$3 \hspace{1}{z}_{2}$の積を考える．

$3\hspace{1}{z}_{1}=\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{y}_{1}\mathbb{{i}}$$3\hspace{1}{z}_{2}=\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{2}\mathbb{{i}}$

とおくと，

$3\begin{array}{lll} \hspace{1}{z}_{1}\cdot \hspace{1}{z}_{2} & = \( \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{y}_{1}\mathbb{{i}} \) \( \hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{2}\mathbb{{i}} \) & \vspace{6}\\ & =\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{y}_{2}\mathbb{{i}}+\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1}\mathbb{{i}}+\hspace{1}{y}_{1}\hspace{1}{y}_{2}{\mathbb{{i}}}^{2} & \vspace{6}\\ & = \( \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{y}_{1}\hspace{1}{y}_{2} \) + \( \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{y}_{2}+\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1} \) \mathbb{{i}} & \vspace{6}\\ \end{array}$

となる．しかし，計算はできたがこの積の値がどのような意味をもつのか直感的に理解できないそこで，複素数を極形式で表現して複素数の積の意味を考えてみる．

$3\hspace{1}{z}_{1}=\hspace{1}{r}_{1} \( \cos \hspace{1}{{\theta}}_{1}+\mathbb{{i}}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{1} \)$$3\hspace{1}{z}_{1}=\hspace{1}{r}_{2} \( \cos \hspace{1}{{\theta}}_{2}+\mathbb{{i}}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{2} \)$

とおくと，

$3\begin{array}{lll} \hspace{1}{z}_{1}\cdot \hspace{1}{z}_{2} & =\hspace{1}{r}_{1}\hspace{1}{r}_{2} \( \cos \hspace{1}{{\theta}}_{1}+\sin \hspace{1}{{\theta}}_{1}\mathbb{{i}} \) \( \cos \hspace{1}{{\theta}}_{2}+\sin \hspace{1}{{\theta}}_{2}\mathbb{{i}} \) & \vspace{6}\\ & =\hspace{1}{r}_{1}\hspace{1}{r}_{2}\cos \hspace{1}{{\theta}}_{1}\cos \hspace{1}{{\theta}}_{2}+\mathbb{{i}}\cos \hspace{1}{{\theta}}_{1}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{2}+\mathbb{{i}}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{1}\cos \hspace{1}{{\theta}}_{2}+{\mathbb{{i}}}^{2}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{1}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{2} & \vspace{6}\\ & =\hspace{1}{r}_{1}\hspace{1}{r}_{2} \( \cos \hspace{1}{{\theta}}_{1}\cos \hspace{1}{{\theta}}_{2}- \sin \hspace{1}{{\theta}}_{1}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{2} \) +\mathbb{{i}} \( \cos \hspace{1}{{\theta}}_{1}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{2}+\cos \hspace{1}{{\theta}}_{2}\sin \hspace{1}{{\theta}}_{1} \) & \vspace{6}\\ \end{array}$
三角関数の加法定理を用いると
$3 =\hspace{1}{r}_{1}\hspace{1}{r}_{2} \{ \cos \( \hspace{1}{{\theta}}_{1}+\hspace{1}{{\theta}}_{2} \) +\mathbb{{i}}\sin \( \hspace{1}{{\theta}}_{1}+\hspace{1}{{\theta}}_{2} \) \}$

この結果をよく見ると，$3 \hspace{1}{z}_{1}\cdot \hspace{1}{z}_{2}$ は絶対値が$3 \hspace{1}{r}_{1}\cdot \hspace{1}{r}_{2}$偏角が$3 \hspace{1}{{\theta}}_{1}+\hspace{1}{{\theta}}_{2}$となっている．すなわち，

$3\displaystyle{ \| \hspace{1}{z}_{1}\cdot \hspace{1}{z}_{2} \| = \| \hspace{1}{z}_{1} \| \cdot \| \hspace{1}{z}_{2} \| \text{\hspace{5}},\text{\hspace{5}}arg \( \hspace{1}{z}_{1}+\hspace{1}{z}_{2} \) =arg\hspace{1}{z}_{1}+arg\hspace{1}{z}_{2}}$

になる． これを図で示すと右の図のようになる．この特徴を図形問題に応用する場合が多い．

#### １．図形の回転

２．図形の拡大／縮小

３．図形の回転+拡大／縮小

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