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の解 

  の解は複素数を学習する上で非常に重要な式です.このページで詳しく解説する.

の解を求める.

まず, の形にして因数分解する.

  ・・・・・・(1)

(1)より,

または,

 を解の公式を使って解くと,

 

となり虚数解(ここを参照)となる.

以上より, の解は

1,  

となる.

 理解をさらに深めるために求まった解を極形式に変えてみる(偏角の範囲を とする).

 

 

 

となり,複素数の絶対値が1で偏角が0°,120°,240°の120°間隔になっている特徴がある.

の3つの解を複素平面上に表すと下図のようになる.

 

半径1の円上にを起点として 120°( )づつ正の方向に 回転したところに解が存在する.

 

   とおく(を1の原始立方解虚数立方解)という)と, 複素数の積の特徴より複素数を120°回転させた複素数になる.すなはちの虚数解のもう一方  と一致する.

 この複素数の積の特徴を利用して,さらに の解 について考えてみる.

を3回掛けると360°回転して元に戻る.式で表すと,

を3回掛けると720°回転して元に戻る.式で表すと,

このような特徴を一般化したものがド・モアブルの定理であり,の解である.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>複素数 >> の解(原始立方解)

初版:2004年7月1日,最終更新日:2006年3月31日

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