cos関数の合成(複素数を用いた導出) (composition of cosine functions (derivation using complex numbers))

２つのcos関数 ${\displaystyle r_1\cos {\theta }_1}$ ,  ${\displaystyle r_2\cos {\theta }_2}$ の合成式を，複素数を用いて表すと

${\displaystyle r_1\cos {\theta }_1+r_2\cos {\theta }_2}$ ${\displaystyle =\mathrm{Re}\left[r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{i{\theta }_2}\right]}$     ---- (1)

となる（ ${\displaystyle \because }$ オイラーの公式）．

上式において

${\displaystyle a=(r_1+r_2)\cos \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}$ ,   ${\displaystyle b=(r_1-r_2)\sin \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}$ ,   ${\displaystyle \theta =\frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}}$     ---- (3)

とおくと

${\displaystyle r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{i{\theta }_2}=e^{i\theta }(a+bi)}$ ${\displaystyle =e^{i\theta }\cdot r{e}^{i\phi }}$ ${\displaystyle =r{e}^{i(\theta +\phi )}}$     ---- (4)

となる．ここで，

${\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}}$     ---- (5)

${\displaystyle \tan \phi =\frac{b}{a}}$ ${\displaystyle =\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}\tan \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}$     ---- (6)

である．したがって，

${\displaystyle r_1\cos {\theta }_1+r_2\cos {\theta }_2}$ ${\displaystyle =\mathrm{Re}\left[r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{i{\theta }_2}\right]}$ ${\displaystyle =\mathrm{Re}\left[r{e}^{i(\theta +\phi )}\right]}$ ${\displaystyle =r\cos (\theta +\phi )}$

を得る．（導出完了）

（※）式(1)の複素数を用いた表現において

${\displaystyle r_1\cos {\theta }_1+r_2\cos {\theta }_2}$ ${\displaystyle =\mathrm{Re}\left[r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{-i{\theta }_2}\right]}$     ---- (7)

として同様に進めると，

${\displaystyle r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{-i{\theta }_2}=r{e}^{i(\theta +\phi )}}$     ---- (8)

${\displaystyle r=\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)}}$ ,   ${\displaystyle \theta =\frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}$ ,   ${\displaystyle \tan \phi =\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}\tan \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}}$     ---- (9)

が得られる．

■ 複素平面での幾何学的な意味

図に示すように，複素数の和

${\displaystyle r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{i{\theta }_2}=r{e}^{i(\theta +\phi )}}$

は，複素平面上での2つのベクトルの和に対応する．右側の図中の角 ${\displaystyle \alpha }$ は，

${\displaystyle \alpha ={\theta }_1-{\theta }_2}$     ---- (10)

であり，余弦定理により

${\displaystyle r=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos (\pi -\alpha )}}$
  ${\displaystyle =\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos \alpha }}$     ---- (11)

である．また，角 ${\displaystyle \varphi }$ は次式を満たす．

${\displaystyle \tan \varphi =\frac{r_1\sin \alpha }{r_1\cos \alpha +r_2}}$     ---- (12)

図から分かるように， ${\displaystyle \theta +\phi ={\theta }_2+\varphi }$ であり， ${\displaystyle \theta =({\theta }_1+{\theta }_2)/2}$ なので

${\displaystyle \phi ={\theta }_2+\varphi -\frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}}$ ${\displaystyle =\varphi -\frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}$ ${\displaystyle =\varphi -\frac{\alpha }{2}}$     ---- (13)

となる．したがって，

が得られる．

また，式(2)の表現

${\displaystyle r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{i{\theta }_2}}$ ${\displaystyle =e^{i\theta }\left\{(r_1+r_2)\cos \frac{\alpha }{2}+i(r_1-r_2)\sin \frac{\alpha }{2}\right\}}$     ---- (15)

（ ${\displaystyle \theta =({\theta }_1+{\theta }_2)/2}$ ， ${\displaystyle \alpha ={\theta }_1-{\theta }_2}$ ）において，右辺の ${\displaystyle \left\{\right\}}$ 内は，長径を ${\displaystyle r_1+r_2}$ ，短径を ${\displaystyle r_1-r_2}$ とした複素平面上の楕円軌道を表している．その楕円軌道上の，角 ${\displaystyle \alpha /2}$ のときの位置ベクトルは ${\displaystyle xy}$ 平面上で

${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_{\phi }=\left((r_1+r_2)\cos \frac{\alpha }{2},(r_1-r_2)\sin \frac{\alpha }{2}\right)}$

と表され，その大きさが

${\displaystyle r=\left|{\overrightarrow{r}}_{\phi }\right|}$
   ${\displaystyle =\sqrt{{(r_1+r_2)}^2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{(r_1-r_2)}^2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}}$
   ${\displaystyle =\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos \alpha }}$

であり， ${\displaystyle x}$ 軸とのなす角 ${\displaystyle \phi }$ が

${\displaystyle \tan \phi =\frac{(r_1-r_2)\sin \frac{\alpha }{2}}{(r_1+r_2)\cos \frac{\alpha }{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}\tan \frac{\alpha }{2}}$

を満たす（ただし， ${\displaystyle \alpha =\pm \pi }$ のとき ${\displaystyle \phi =\pm \pi /2}$ とする）．したがって，

${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_{\phi }=\left(r\cos \phi ,r\sin \phi \right)}$

と表される．さらに，式(15)の右辺の指数関数 ${\displaystyle e^{i\theta }}$ は，複素平面上のベクトルを原点の周りに角 ${\displaystyle \theta }$ だけ回転させることに対応するので， ${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_{\phi }}$ を ${\displaystyle \theta }$ 回転させると

${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_{\phi }\to {\overrightarrow{r}}_{\theta +\phi }}$ ${\displaystyle =\left(r\cos \left(\theta +\phi \right),r\sin \left(\theta +\phi \right)\right)}$

となる．したがって，

${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_{\theta +\phi }\iff r{e}^{i(\theta +\phi )}=r_1{e}^{i{\theta }_1}+r_2{e}^{i{\theta }_2}}$

という対応がある．

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最終更新日：2024年9月30日