微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y= x 5x

■答

y = 5 x 5x ( log| x |+1 )

■ヒント

対数微分法合成関数の微分の公式を利用して解く.

■解説

y = x 5x

指数関数の定義より

x > 0

よって

x 5x >0

両辺の自然対数を取とり,対数微分法を用いて y を求めることにする.

logy =log x 5x =5xlogx

両辺を x で微分する.

1 y dy dx = 5x ·logx+5x· logx

1 y dy dx =5logx+5x 1 x

1 y dy dx =5 logx+5

よって

dy dx =5( logx+1 )·y  

y= x 5x より

dy dx =5 logx+1 · x 5x =5 x 5x logx+1

●別解

指数関数 y= x 5x の底を自然対数の底 e 変換する.

y= x 5x = e log x 5x = e 5xlogx

y = e 5xlogx · 5xlogx

= e 5xlogx · 5x logx+5x· logx

= e 5xlogx · 5logx+5x· 1 x

= e 5xlogx ·5 logx+1

e 5xlogx = x 5x より

y = x 5x ·5 logx+1 =5 x 5x logx+1

 

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最終更新日: 2023年10月9日