ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y + y +y=0

(初期条件: y 0 =0 y 0 =1 )

■答

y= 2 3 3 e 1 2 t sin 3 2 t

■ヒント

ラプラス変換 微分則を用いて解く.

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 +sY s y 0 +Y s =0

初期条件より

s 2 Y s 1+ sY s +Y s =0

( s 2 + s+ 1 ) Y ( s ) 1 =0

Y s = 1 s+ 1+ 3 i 2 s+ 1 3 i 2

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 s+ 1+ 3 i 2 + k 2 s+ 1 3 i 2

k 1 = lim s 1+ 3 i 2 s+ 1+ 3 i 2 1 s+ 1+ 3 i 2 s+ 1 3 i 2 = 3 3 i

k 2 = lim s 1 3 i 2 s+ 1 3 i 2 1 s+ 1+ 3 i 2 s+ 1 3 i 2 = 3 3 i

よって

Y s = 3 3 i 1 s+ 1+ 3 i 2 3 3 i 1 s+ 1 3 i 2

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y= 3 3 i e 1+ 3 i 2 t e 1 3 i 2 t

y= 3 3 i e 1 2 t e 3 i 2 t e 1 2 t e 3 i 2 t

y= 3 3 i e 1 2 t e 3 i 2 t e 3 i 2 t

オイラーの公式より

y= 3 3 i e 1 2 t { cos 3 2 tisin 3 2 t ( cos 3 2 t +isin 3 2 t ) }

y= 2 3 3 e 1 2 t sin 3 2 t

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 +λ+1=0

より

( λ+ 1+ 3 i 2 )( λ+ 1 3 i 2 )=0

λ= 1+ 3 i 2 , 1 3 i 2

よって一般解は

y= e 1 2 t ( C 1 cos 3 2 t+ C 2 sin 3 2 t )      (ただし C 1 , C 2 は任意定数)

y = 1 2 e 1 2 t ( C 1 cos 3 2 t+ C 2 sin 3 2 t ) + e 1 2 t ( 3 2 C 1 sin 3 2 t+ 3 2 C 2 cos 3 2 t )

初期条件より

y 0 = C 1  ・・・・・・(1)

y 0 = 1 2 C 1 + 3 2 C 2  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 =0, C 2 = 2 3 3

よって

y= 2 3 3 e 1 2 t sin 3 2 t

 

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最終更新日: 2023年6月6日