問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け.

( 0.5 ) x >0.25

■答

x<2

■計算

( 0.5 ) x >0.25

( 1 2 ) x > 1 4

( 2 1 ) x > 4 1

2 1·x > ( 2 2 ) 1

2 x > 2 2

底が2 ( >1 )より

x >2

x <2

●別解

( 0.5 ) x >0.25

( 0.5 ) x > ( 0.5 ) 2

底が0.5 ( 0<0.5<1 )より

x<2

■解説

両辺を a r の形に式変形する.

( 0.5 ) x >0.25

( 5 10 ) x > 25 100

( 1×5 2×5 ) x > 1×25 4×25

( 1 2 ) x > 1 4

( 2 1 ) x > 4 1

2 1·x > ( 2 2 ) 1   指数法則より

2 x > 2 2

与式は底が2の指数を用いた数に統一された.

底が2の指数関数は底が1より大きいので,グラフは単調増加である.(ここを参照)

よって,与式の指数における大小関係は変化しない.

指数の関係式は次のようになる.

x>2

ゆえに,求める不等式の解は

x<2

●別解

右辺の0.250.52乗であることに気づくと

( 0.5 ) x >0.25

( 0.5 ) x > ( 0.5 ) 2

上式の底は0.5である.底 a 0<a<1 のときグラフは単調減少になる.(ここを参照)

このとき指数の大小関係は逆になるので,下の関係式が得られる.

x<2

よって,答が得られた.

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日

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