逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その1

${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}cosax=\frac{1}{2a}xsinax}$

■導出その1

${\displaystyle Y=\frac{1}{D^2+a^2}{e}^{iax}}$  ･･････(1)

とおく． ${\displaystyle D^2+a^2=\left(D-ia\right)\left(D+ia\right)}$  と因数分解できるので，

${\displaystyle Y=\frac{1}{\left(D-ia\right)\left(D+ia\right)}{e}^{iax}}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{D-ia}\frac{1}{D+ia}{e}^{iax}}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{D-ia}\left[\frac{1}{D+ia}{e}^{iax}\right]}$ 

逆演算子の公式

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{ax}=\frac{1}{f\left(a\right)}{e}^{ax}}$  ⇒詳細

を利用すると

${\displaystyle Y=\frac{1}{D-ia}\frac{1}{ia+ia}{e}^{iax}}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{2ia}\frac{1}{D-ia}{e}^{iax}}$ 

逆演算子の公式

${\displaystyle \frac{1}{D-a}F\left(x\right)=e^{ax}{\displaystyle \int e^{-ax}F\left(x\right)dx}}$  ⇒詳細

を利用すると

${\displaystyle Y=\frac{1}{2ia}{e}^{iax}{\displaystyle \int e^{-iax}{e}^{iax}dx}}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{2ia}{e}^{iax}{\displaystyle \int dx}}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{2ia}x{e}^{iax}}$ ･･････(2) 

ここでオイラーの公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$  

を利用すると，(2)式は次のように変形できる．

${\displaystyle Y=\frac{1}{2ia}x\left(\cos ax+i\sin ax\right)}$ 

${\displaystyle =-\frac{1}{2a}ix\left(\cos ax+i\sin ax\right)}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{2a}x\sin ax-i\frac{1}{2a}x\cos ax}$ 

また(1)式はオイラーの公式より

${\displaystyle Y=\frac{1}{D^2+a^2}\left(\cos ax+i\sin ax\right)}$  

なので

${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}\cos ax+i\frac{1}{D^2+a^2}\sin ax}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2a}x\sin ax-i\frac{1}{2a}x\cos ax}$  

となる．

よって，実部に注目すると，

${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}\cos ax=\frac{1}{2a}x\sin ax}$  

 

導出その2はこちら

導出その3はこちら

 

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最終更新日： 2023年6月9日