証明

2階定数係数同次微分方程式

${\displaystyle y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式  ${\displaystyle t^2+at+b=0}$の解によって以下のようになる．

(3)虚数解 ${\displaystyle \lambda \pm \mu i}$ の場合

${\displaystyle y=c_1{e}^{\lambda x}\sin \mu x+c_2{e}^{\lambda x}\cos \mu x}$

■証明

特性方程式が虚数解 ${\displaystyle \lambda \pm \mu i}$ をもつ場合，特性方程式  ${\displaystyle f\left(t\right)}$ は

${\displaystyle f\left(t\right)=\left\{D-\left(\lambda +\mu i\right)\right\}\left\{D-\left(\lambda -\mu i\right)\right\}}$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

${\displaystyle f\left(D\right)y=0}$

${\displaystyle \left\{D-\left(\lambda +\mu i\right)\right\}\left\{D-\left(\lambda -\mu i\right)\right\}y=0}$   ･･････(1)

となる．実数解${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle \beta }$ のときの証明より

${\displaystyle \left(D-\alpha \right)\left(D-\beta \right)=0}$  の一般解は${\displaystyle y=c_1{e}^{\alpha x}+c_2{e}^{\beta x}}$ であるので

${\displaystyle \alpha =\lambda +\mu i}$ ，${\displaystyle \beta =\lambda -\mu i}$ とすると(1)の一般解は次のようになる．

${\displaystyle y=p_1{e}^{\left(\lambda +\mu i\right)x}+p_2{e}^{\left(\lambda -\mu i\right)x}}$

${\displaystyle =p_1{e}^{\lambda x}{e}^{i\mu x}+p_2{e}^{\lambda x}{e}^{-i\mu x}}$  ･･････(2) ( ${\displaystyle p_1}$ ${\displaystyle p_2}$ は任意定数)

ここでオイラーの公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\sin x}$

を利用して(2)を変形すると

${\displaystyle y=p_1{e}^{\lambda x}\left(\cos \mu x+i\sin \mu x\right)}$${\displaystyle +p_2{e}^{\lambda x}\left(\cos \mu x-i\sin \mu x\right)}$

${\displaystyle =i\left(p_1-p_2\right)e^{\lambda x}\sin \mu x}$${\displaystyle +\left(p_1+p_2\right)e^{\lambda x}\cos \mu x}$

${\displaystyle c_1=i\left(p_1-p_2\right)}$，${\displaystyle c_2=\left(p_1+p_2\right)}$ とおくと

${\displaystyle y=c_1{e}^{\lambda x}\sin \mu x+c_2{e}^{\lambda x}\cos \mu x}$

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　最終更新日： 2023年6月12日