非同次項がsinとcosのとき

非同次項がsin axとcos axのとき

定数係数線形微分方程式

f( D )y=hsinax+kcosax

について

(2)   f ( i a ) = 0 であり , t = i a 特性方程式 f ( t ) = 0 の1重の解であれば,この微分方程式は

y = x ( A sin a x + B cos a x ) という形の特殊解をもつ.

■導出

f( D )y=hsinax+kcosax  

両辺を f( D ) で割ると

y = 1 f( D ) ( hsinax+kcosax )

= 1 f( D ) hsinax+ 1 f( D ) kcosax

=h 1 f( D ) sinax+k 1 f( D ) cosax  ・・・・・・(1)

ここで, y= 1 f( D ) e iax  を計算する.・・・・・・(2)

y = 1 f( D ) e iax

= C 1 x e iax  詳しくはこちら

= C 1 x( cosax+isinax )  オイラーの公式より)

一般的には C 1 は複素数なので

C 1 = c 1 +i c 1  

とおくと

y =x( c 1 +i c 1 )( cosax+isinax )

= c 1 xcosax+i c 1 xsinax+i c 1 xcosax c 1 xsinax

=( c 1 xcosax c 1 xsinax )+i( c 1 xcosax+ c 1 xsinax )  ・・・・・・(3)

(2)より

y= 1 f( D ) e iax = 1 f( D ) ( cosax+isinax )  

なので,(3)より

1 f( D ) cosax+ 1 f( D ) isinax =( c 1 xcosax c 1 xsinax )+i( c 1 xcosax+ c 1 xsinax )  

この式の実部と虚部を比較すると

1 f( D ) cosax= c 1 xcosax c 1 xsinax  

1 f( D ) sinax= c 1 xcosax+ c 1 xsinax  

この2つの式を(1)に代入すると 

y =h( c 1 xcosax+ c 1 xsinax )+k( c 1 xcosax c 1 xsinax )

=h c 1 xcosax+h c 1 xsinax+k c 1 xcosaxk c 1 xsinax

=( h c 1 k c 1 )xsinax+( h c 1 +k c 1 )xcosax

h c 1 k c 1 =A  , h c 1 +k c 1 =B とおくと

y=Axsinax+Bxcosax  

となる.

 

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 最終更新日: 2024年5月17日