非同次項がsin axとcos axのとき

定数係数線形微分方程式

${\displaystyle f\left(D\right)y=hsinax+kcosax}$

について

(2)   ${\displaystyle f\left(ia\right)=0}$ であり ， ${\displaystyle t=ia}$ が特性方程式 ${\displaystyle f\left(t\right)=0}$ の1重の解であれば，この微分方程式は

${\displaystyle y=x\left(Asinax+Bcosax\right)}$ という形の特殊解をもつ．

■導出

${\displaystyle f\left(D\right)y=h\sin ax+k\cos ax}$  

両辺を${\displaystyle f\left(D\right)}$ で割ると

${\displaystyle y=\frac{1}{f\left(D\right)}\left(h\sin ax+k\cos ax\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}h\sin ax+\frac{1}{f\left(D\right)}k\cos ax}$

${\displaystyle =h\frac{1}{f\left(D\right)}\sin ax+k\frac{1}{f\left(D\right)}\cos ax}$　･･････(1)

ここで， ${\displaystyle y=\frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{iax}}$  を計算する．･･････(2)

${\displaystyle y=\frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{iax}}$

${\displaystyle =C_{1}x{e}^{iax}}$　⇒詳しくはこちら

${\displaystyle =C_{1}x\left(\cos ax+i\sin ax\right)}$　（オイラーの公式より）

一般的には${\displaystyle C_1}$ は複素数なので

${\displaystyle C_1=c_1+i{c^{\prime }}_1}$  

とおくと

(2)より

なので，(3)より

この式の実部と虚部を比較すると

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\cos ax=c_{1}x\cos ax-{c^{\prime }}_{1}x\sin ax}$  

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\sin ax={c^{\prime }}_{1}x\cos ax+c_{1}x\sin ax}$  

この2つの式を(1)に代入すると 

${\displaystyle h{c}_1-k{c^{\prime }}_1=A}$  ，${\displaystyle h{c^{\prime }}_1+k{c}_1=B}$ とおくと

${\displaystyle y=Ax\sin ax+Bx\cos ax}$  

となる．

 

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　最終更新日： 2024年5月17日