定数係数線形微分方程式の非同次項が $e^{a x}$ のときの解の導出

定数係数線形微分方程式

$f (D) y = k e^{a x}$ ･･････(1)

について

(2) $f (a) = 0$ であり， $t = a$ が特性方程式 $f (t) = 0$ の1重の解であれば，この微分方程式は $y = A x e^{a x}$ という形の特殊解をもつ．

■導出1

$f (t)$ が $n$ 次の多項式とする．(ただし $t^{n}$ の係数は1とする)

$f (t) = 0$ は $t = a$ で1重の解であるとすると

$f (t) = (t - a) g (t)$ $g (a) \neq 0$

と表すことができる．

(1)の解を逆演算子を用いて表すと

$y = \frac{1}{f (D)} k e^{a x}$ $= \frac{1}{(D - a) g (D)} k e^{a x}$

となる．

$\frac{1}{g (D)} k e^{a x}$

この公式より

$= k \frac{1}{g (D)} e^{a x}$

$g (a) \neq 0$ より，この公式を利用すると

$= k \frac{1}{g (a)} e^{a x}$ $= \frac{k}{g (a)} e^{a x}$

よって

$y = \frac{1}{D - a} {\frac{k}{g (a)} e^{a x}}$

この公式より

$= \frac{k}{g (a)} \frac{1}{D - a} e^{a x}$

この公式より

$= \frac{k}{g (a)} e^{a x} \frac{1}{D} e^{- a x} e^{a x}$ $= \frac{k}{g (a)} e^{a x} \frac{1}{D} 1$ $= \frac{k}{g (a)} e^{a x} x$ $= \frac{k}{g (a)} x e^{a x}$

$\frac{k}{g (a)} = A$ とおくと

$y = A x e^{a x}$

■導出2

$f (t)$ が $n$ 次の多項式とする．(ただし $t^{n}$ の係数は1とする)

$f (t) = 0$ の解を $a, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n - 1}$ とすると，(ただし $a \neq b_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n - 1$ )

$f (t) = (t - b_{n - 1}) \dots (t - b_{2}) (t - b_{1}) (t - a)$ ･･････(2)

と表すことができる．

(1)式を逆演算子を使って解を表すと

$y = \frac{1}{f (D)} k e^{a x}$

この公式より

$= k \frac{1}{f (D)} e^{a x}$

(2)より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1}) (D - a)} e^{a x}$

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1})} [\frac{1}{D - a} e^{a x}]$

この公式より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1})} [e^{a x} \frac{1}{D} e^{- a x} e^{a x}]$

$e^{- a x} e^{a x} = \frac{1}{e^{a x}} e^{a x} = 1$ より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1})} [e^{a x} \frac{1}{D} 1]$

１この公式より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1})} [e^{a x} \int d x]$

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1})} [e^{a x} x]$

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2}) (D - b_{1})} x e^{a x}$

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} [\frac{1}{D - b_{1}} x e^{a x}]$

この公式より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} [e^{b_{1} x} \frac{1}{D} e^{- b_{1} x} x e^{a x}]$

指数法則より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} [e^{b_{1} x} \frac{1}{D} x e^{(a - b_{1}) x}]$

この公式より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} [e^{b_{1} x} \int x e^{(a - b_{1}) x} d x]$

積分のやり方はこちら

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} [e^{b_{1} x} {\frac{1}{a - b_{1}} x e^{(a - b_{1}) x} - \frac{1}{{(a - b_{1})}^{2}} e^{(a - b_{1}) x}}]$

$e^{b_{1} x} e^{(a - b_{1}) x} = e^{a x}$ より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} [\frac{1}{a - b_{1}} x e^{a x} - \frac{1}{{(a - b_{1})}^{2}} e^{a x}]$

分配法則より

$= k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} (\frac{1}{a - b_{1}} x e^{a x})$ $- k \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} (\frac{1}{{(a - b_{1})}^{2}} e^{a x})$

$= \frac{k}{a - b_{1}} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} x e^{a x}$ $- \frac{k}{{(a - b_{1})}^{2}} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} e^{a x}$

$= \frac{k}{a - b_{1}} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} x e^{a x}$ $- \frac{k}{{(a - b_{1})}^{2} (a - b_{n - 1}) \dots (a - b_{2})} e^{a x}$

$- \frac{k}{{(a - b_{1})}^{2} (a - b_{n - 1}) \dots (a - b_{2})} e^{a x}$ は $f (D) y = 0$ の一般解

$y = c_{1} e^{a x} + c_{2} e^{b_{1} x} + c_{3} e^{b_{2} x} + \dots + c_{n} e^{b_{n - 1} x}$

に含まれる．すなわち(1)の一般解に含まれる．

よって，特殊解としては，これを省略し

$y = \frac{k}{a - b_{1}} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{2})} x e^{a x}$

$= \frac{k}{a - b_{1}} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{3})} [\frac{1}{D - b_{2}} x e^{a x}]$

となる．この式を上と同様にして解くと

$y = \frac{k}{(a - b_{1}) (a - b_{2})} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{3})} x e^{a x}$ $- \frac{k}{(a - b_{1}) {(a - b_{2})}^{2} (a - b_{n - 1}) \dots (a - b_{3})} e^{a x}$

となる．同様に第2項は一般解に含まれる．よって省略すると

$y = \frac{k}{(a - b_{1}) (a - b_{2})} \frac{1}{(D - b_{n - 1}) \dots (D - b_{3})} x e^{a x}$

同様にして計算を繰り返すと

$y = \frac{k}{(a - b_{1}) (a - b_{2}) \dots (a - b_{n - 1})} x e^{a x}$

となる．ここで

$\frac{k}{(a - b_{1}) (a - b_{2}) \dots (a - b_{n - 1})} = A$

とおくと

$y = A x e^{a x}$

となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

定数係数線形微分方程式の非同次項が e ax のときの解の導出

■導出1

■導出2

定数係数線形微分方程式の非同次項が $e^{a x}$ のときの解の導出