区間推定（基礎） — 標本分布シミュレータ

1 このアプリは何をするもの？

母集団が正規分布 ${\displaystyle \mathit{N}\left(\mathit{\mu },{\mathit{\sigma }}^2\right)}$ に従うとき，そこから大きさ $\mathit{n}$ の標本をくり返し抽出し， 標本ごとに計算した統計量（標本平均，不偏分散など）がどのような分布に散らばるかを， ヒストグラムと理論分布の重ね描きで観察できるシミュレータである．

1つの標本から得られる値（例：標本平均）は，取り直すたびに変わる． この「取り直すたびに変わる値の分布」を 標本分布 と呼び，区間推定，仮説検定のすべての出発点になる． 本アプリは試行を何千回・何万回とくり返すことで，標本分布が理論通りの形に近づく様子を目で確かめらる．

2 画面の構成

3 使い方（操作手順）

4 学ぶ内容 ― 6つの標本分布

${\displaystyle n}$ 個の標本 ${\displaystyle x_1,\cdots ,x_n}$ を ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ から取り出したとき，次の6つの統計量の分布を確認できる． ${\displaystyle \overline{x}}$ は標本平均， ${\displaystyle s^2}$ は不偏分散 ${\displaystyle \frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}}$ である．

[1] 標本平均 ${\displaystyle \overline{x}}$ の分布 ― ${\displaystyle N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$

標本平均は母平均 ${\displaystyle \mu }$ を中心に分布し，その広がり（分散）は母分散の ${\displaystyle $ {\displaystyle \frac{1}{n}}$}$ に縮まる． ${\displaystyle n}$ を大きくするほど山が鋭くなり，平均の推定精度が上がることが分かる．

[2]不偏分散 ${\displaystyle s^2}$ の分布 ー 平均が ${\displaystyle {\sigma }^2}$ に一致

個々の ${\displaystyle s^2}$ はばらつくが，その平均は母分散 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ に一致する．これが「不偏性」で， 分母を ${\displaystyle n}$ ではなく ${\displaystyle n-1}$ にする理由を実感できる．（分布は右に裾を引いた非対称形である．）

[3] ${\displaystyle V=\left(\overline{x}-\mu \right)/\sqrt{{\sigma }^2/n}}$ の分布 ー ${\displaystyle \mathit{N}\left(0,1\right)}$

標本平均を標準化した量．母分散 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ が既知のとき，標準正規分布に従う．

[4] ${\displaystyle W=\left(\overline{x}-\mu \right)/\sqrt{s^2/n}}$ の分布 ー ${\displaystyle t_{n-1}}$

[3]の ${\displaystyle {\sigma }^2}$ を不偏分散 ${\displaystyle s^2}$ で置き換えた量．母分散が未知のときに使い， 自由度 ${\displaystyle n-1}$ の ${\displaystyle t}$ 分布に従う．正規分布より少し裾が厚いことに注目しましょう．

[5] $X=\sum {\left\{\left(x_i-\mu \right)/\sigma \right\}}^2$ の分布 ー ${\chi }_n^2$

母平均 ${\displaystyle \mu }$ が既知のときの平方和．自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う．

[6] $Y=\sum {\left\{\left(x_i-\overline{x}\right)/\sigma \right\}}^2$ の分布 ー ${\chi }_{n-1}^2$

母平均の代わりに標本平均 ${\displaystyle \overline{x}}$ を使った平方和で， ${\displaystyle \left(n-1\right)s^2/{\sigma }^2}$ に等しくなる． ${\displaystyle \overline{x}}$ を推定に1つ使ったぶん自由度が1減り， $n-1$ のカイ二乗分布に従いう．

5 区間推定へのつながり

上の標本分布は，そのまま「母数を区間で推定する」ための道具になる．

母平均 $\mu$ の区間推定

• 母分散 ${\sigma }^2$ が既知 → [3]の $N\left(0,1\right)$ を使う（$z$ による区間推定（標準正規分布の値 $z$ を使って、母平均などの母数がどの範囲にあるかを推定する方法））．
• 母分散 ${\sigma }^2$ が未知 → [4]の $t_{n-1}$ を使う（ ${\displaystyle t}$ による区間推定）．実務ではこちらが基本である．

母分散 ${\sigma }^2$ の区間推定

• [6]の ${\chi }^2{}_{n-1}$ を使う（ ${\displaystyle \left(n-1\right)s^2/{\sigma }^2}$ がカイ二乗分布に従うことを利用）．

6 おすすめの観察テーマ

• 試行回数を増やす： ＋1 → ＋1000 → ＋10000 と積み増し，棒が理論曲線に近づく「大数の法則」的な収束を見る．
• 標本数 n を変える： ${\displaystyle n=5}$ と ${\displaystyle n=50}$ で[1]の山の鋭さを比較． ${\displaystyle n}$ が大きいほど標本平均のばらつき（ ${\displaystyle {\sigma }^2/n}$ ）が小さくなる．
• [3]と[4]を重ねて見る： ${\displaystyle n}$ が小さいほど ${\displaystyle t}$ 分布（[4]）の裾が正規分布（[3]）より厚いことを確認． ${\displaystyle n}$ を大きくすると両者は近づく．
• [5]と[6]を比べる： 自由度が ${\displaystyle n}$ と ${\displaystyle n-1}$ で山の位置がわずかにずれることを確認（自由度が1減る意味）．
• 集計値を検証する： 「標本平均の平均 ${\displaystyle \approx \mu }$ 」「不偏分散の平均 ${\displaystyle \approx {\sigma }^2}$ 」「標本平均の分散 ${\displaystyle \approx {\sigma }^2/n}$ 」「比 ${\displaystyle \approx n}$ 」が成り立つか確かめる．

7 統計量まとめ表

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