加法定理の証明

$sin (α \pm β)$ $= sin α cos β \pm cos α sin β$

$cos (α \pm β)$ $= cos α cos β \mp sin α sin β$

$tan (α \pm β) = \frac{tan α \pm tan β}{1 \mp tan α tan β}$

（複号同順）

■証明

単位円上に点 $P$ ， $Q$ がある． $x$ 軸の正方向と $OP$ のなす角を $α$ ， $x$ 軸のの正方向と $OQ$ のなす角を $β$ とする．

三角形 $OPQ$ を考える．余弦定理より

${PQ}^{2} = {OP}^{2} + {OQ}^{2} - 2 OP \cdot OQ cos (α - β)$

$= 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos (α - β)$

$= 2 - 2 cos (α - β)$ 　･･････(1)

線分 $PQ$ の長さを点 $P$ ，点 $Q$ の座標成分を用いて表すと

${PQ}^{2} = {(cos β - cos α)}^{2} + {(sin β - sin α)}^{2}$

$= \cos^{2} β - 2 \cos β \cos α + \cos^{2} α$ $+ \sin^{2} β - 2 \sin β \sin α + \sin^{2} α$

$= (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + (\sin^{2} β + \cos^{2} β)$ $- 2 \cos β \cos α - 2 \sin β \sin α$

$= 2 - 2 (sin α sin β + cos α cos β)$ 　･････(2)

(1)，(2)より

$2 - 2 \cos (α - β)$ $= 2 - 2 (\cos α \cos β + \sin α \sin β)$

よって

$cos (α - β)$ $= cos α cos β + sin α sin β$ 　･･････(3)

(3)を用いて他の加法定理の公式も導くことができる．以下にそれを示す．

$cos (α + β) = cos {α - (- β)}$

$= cos α cos (- β) + sin α sin (- β)$ （(3)より）

$= cos α cos β - sin α sin β$ 　･･････(4)

$sin (α + β) = cos {90 - (α + β)}$ （三角関数計算の基礎を参照）

$= cos {(90 - α) - β}$

$= cos (90 - α) cos β + sin (90 - α) sin β$

$= sin α cos β + cos α sin β$ 　･･････(5)

$sin (α - β) = sin {α + (- β)}$

$= sin α cos (- β) + cos α sin (- β)$

$= sin α cos β - cos α sin β$ 　･･････(6)

$tan (α + β) = \frac{sin (α + β)}{cos (α + β)}$

$= \frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β - sin α sin β}$

分子，分母を $cos α cos β$ で割ると

$= \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$ 　･･････(7)

$tan (α - β) = \frac{sin (α - β)}{cos (α - β)}$

$= \frac{sin α cos β - cos α sin β}{cos α cos β + sin α sin β}$

分子，分母を $cos α cos β$ で割ると

$= \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$ 　･･････(8)

最終更新日 2025年4月21日