加法定理の証明

加法定理の証明

sin( α±β )=sinαcosβ±cosαsinβ  

cos( α±β )=cosαcosβsinαsinβ  

tan( α±β )= tanα±tanβ 1tanαtanβ  

(複号同順) 

■証明

一般的な証明を紹介する.(ベクトルを用いた証明オイラーの公式を用いた導出もある.)

単位円上に点P,Qがある.OPと x  軸のなす角α OQと x  軸のなす角β とする.

三角形OPQを考える.余弦定理より,

PQ 2 = OP 2 + OQ 2 2OP·OQcos( αβ )

= 1 2 + 1 2 2·1·1·cos( αβ )  

=2 2cos( αβ )  ・・・・・・(1)

線分PQの長さを点P,点Qの座標成分を用いて表すと,

PQ 2 = ( cosβcosα ) 2 + ( sinβsinα ) 2  

= cos 2 β2cosβcosα+ cos 2 α + sin 2 β2sinβsinα+ sin 2 α  

=( sin 2 α+ cos 2 α )+( sin 2 β+ cos 2 β ) 2cosβcosα2sinβsinα

= 2 2 ( sin α sin β + cos α cos β ) ・・・・・・(2) 

(1),(2)より,

22cos( αβ ) =22( cosαcosβ+sinαsinβ )

よって,

 

(3)を用いて他の加法定理の公式も導くことができる.以下にそれを示す.

 

cos( α+β ) =cos{ α( β ) }

=cosαcos( β )+sinαsin( β )   ((3)より)  

=cosαcosβsinαsinβ    ・・・・・・(4)  

 

= cos{ ( 90α )β }  

=cos ( 90α )cosβ+sin( 90α )sinβ  

=sinαcosβ+cosαsinβ    ・・・・・・(5)

 

sin( αβ ) =sin{ α+( β ) }  

=sinαcos( β )+cosαsin( β )  

=sinαcosβcosαsinβ    ・・・・・・(6)  

 

tan( α +β ) = sin( α+β ) cos( α+β )  

= sinαcosβ+cosαsinβ cosαcosβsinαsinβ  

分子,分母を cosαcosβ で割ると, 

= tanα+tanβ 1tanαtanβ    ・・・・・・(7)  

 

tan ( αβ ) = sin( αβ ) cos( αβ )  

= sinα cosβcosαsinβ cosαcosβ+sinαsinβ  

分子,分母を cosαcosβ で割ると,

= tan αtanβ 1+tanαtanβ    ・・・・・・(8)

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最終更新日 2023年3月2日