円錐の体積

円錐の体積は，

${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$ （ ${\displaystyle r}$ ：半径， ${\displaystyle h}$ ：高さ ）

の公式で求めることができる．

この公式は，円柱の体積の公式　 ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$ に ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ をかけたものと考えることができるが，なぜ円柱の体積に ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ をかけることにより円錐の体積が得られるのかを，定積分法と区分求積法を用いて説明する．

ここで，説明に用いる円錐は ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ ， ${\displaystyle 0\leqq x\leqq 1}$ （半径1，高さ1）のものとする． 

■導出

●円柱の体積

円柱の体積の公式より， 

${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$ 

${\displaystyle =\pi \times 1^2\times 1}$ 

${\displaystyle =\pi }$ 

●円錐の体積の公式を用いた場合

円錐の体積の公式より， 

${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi \times 1^2\times 1}$ 

${\displaystyle =\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$ 

●定積分の公式を用いた場合

定積分の基本式より，

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　　　 （${\displaystyle F\left(x\right)}$ は ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の原始関数の1である ）

求める円錐の底面積 ${\displaystyle S\left(x\right)}$ を ${\displaystyle S\left(x\right)=\pi {\left\{f\left(x\right)\right\}}^2}$ とすると，（これについては，体積の計算を参照）

${\displaystyle {\int }_0^{1}S\left(x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\pi {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{2}dx}$

${\displaystyle =\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{3}\left(1^3-0^3\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{3}}$

●区分求積法を用いた場合

右端型の場合

${\displaystyle {\int }_0^{1}S\left(x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\pi x^{2}dx}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}\{f\left(1\right)+f\left(2\right)+}$${\displaystyle \cdots +f\left(n-1\right)+f\left(n\right)\}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}\{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+{\left(\frac{2}{n}\right)}^2+}$${\displaystyle \cdots +{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^2+{\left(\frac{n}{n}\right)}^2\}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}·\frac{1}{n^2}\{1^2+2^2+}$${\displaystyle \cdots +{\left(n-1\right)}^2+n^2\}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}·\frac{1}{n^2}·\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}$

${\displaystyle \frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}$ については， ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$ の計算式を参照．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}$

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}}$ より， ${\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{1}{\infty }=0}$ のため， ${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(1+0\right)\left(2+0\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$

${\displaystyle =\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$

左端型の場合

${\displaystyle {\int }_0^{1}S\left(x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\pi x^{2}dx}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}\{{\left(\frac{0}{n}\right)}^2+{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+}$${\displaystyle \cdots +{\left(\frac{n-2}{n}\right)}^2+{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^2\}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}·\frac{1}{n^2}\{0^2+1^2+}$${\displaystyle \cdots +{\left(n-2\right)}^2+{\left(n-1\right)}^2\}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}·\frac{1}{n^2}·\frac{1}{6}\left(n-1\right)n\left\{2\left(n-1\right)+1\right\}}$

${\displaystyle \frac{1}{6}\left(n-1\right)n\left\{2\left(n-1\right)+1\right\}}$ については， ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$ の計算式を参照．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{n}·\frac{1}{n^2}·\frac{1}{6}\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}$

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}}$ より， ${\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{1}{\infty }=0}$ のため， ${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(1-0\right)\left(2-0\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$

${\displaystyle =\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$

これより，定積分の公式と区分求積法のどちらの方法を用いても，円錐の体積は円柱の体積に${\displaystyle \frac{1}{3}}$をかけたものであることがわかる．また，区分求積法の具体的な計算例についてはここを参照．

 

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最終更新日： 2023年7月28日