演習問題

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,-1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,-1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,-1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,-1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,1\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(4,3\right)}$ ，点 $\text{P}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とする．ただし， $x$ ， $y$ は変数である．ベクトル方程式

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}\cdot \overrightarrow{\text{BP}}=0}$

を満たす点 $\text{P}$ が描く図形を答へよ．

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,1\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(4,3\right)}$ ，点 $\text{P}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とする．ただし， $x$ ， $y$ は変数である．ベクトル方程式

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}\cdot \overrightarrow{\text{BP}}=0}$

を満たす点 $\text{P}$ が描く図形を答へよ．

座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ．

座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ．

座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ．

座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ．

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

座標平面において，点$\text{Q}$と点$\text{R}$があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(4,3\right)}$ とする．ベクトル方程式が， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，ただし， ${\displaystyle s+t=1}$ のとき，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とすると点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ．

座標平面において，点$\text{Q}$と点$\text{R}$があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(4,3\right)}$ とする．ベクトル方程式が， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，ただし， ${\displaystyle s+t=1}$ のとき，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とすると点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ．