# 平面に関連した問題

## ■問題

$3$$\text{A}\left(3,1,0\right)$$\text{B}\left(2,0,1\right)$$\text{C}\left(0,1,1\right)$ がある．以下の問に答えよ．

(1)$\stackrel{\to }{\text{AB}}$$\stackrel{\to }{\text{AC}}$ を求めよ．

(2) $\angle \text{BAC}=\theta$ とする． $\mathrm{cos}\theta$ の値を求めよ．

(3) $\stackrel{\to }{\text{AB}}$ に平行で大きさが $1$ のベクトル $a$ を求めよ．

(4)$2$$\text{A}$$\text{B}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(6) $3$$\text{A}$$\text{B}$$\text{C}$ を通る平面の方程式を求めよ．

## ■答

(1)

$\stackrel{\to }{\text{AB}}=\left(2,0,1\right)-\left(3,1,0\right)=\left(-1,-1,1\right)$

$\stackrel{\to }{\text{AC}}=\left(0,1,1\right)-\left(3,1,0\right)=\left(-3,0,1\right)$

(2)

$\mathrm{cos}\theta =\frac{\stackrel{\to }{\text{AB}}·\stackrel{\to }{\text{AC}}}{|\stackrel{\to }{\text{AB}}||\stackrel{\to }{\text{AC}}|}$ $=\frac{-1×\left(-3\right)+\left(-1\right)×0+1×1}{\sqrt{{\left(-1\right)}^{2}+{\left(-1\right)}^{2}+{1}^{2}}·\sqrt{{\left(-3\right)}^{2}+{1}^{2}}}$ $=\frac{3+1}{\sqrt{3}·\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{30}}$ $=\frac{4\sqrt{30}}{30}=\frac{2\sqrt{30}}{15}$

(3)

$|\stackrel{\to }{\text{AB}}|=\sqrt{3}$

$a=±\frac{1}{\sqrt{3}}\left(-1,-1,1\right)$ $=±\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $=±\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

(4)

$\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}$    $\left(\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{-1}=z,-x+3=-y+1=z\right)$

あるいは

$\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$    $\left(\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{-1}=z-1,-x+2=-y=z-1\right)$

(5)

$\stackrel{\to }{\text{AB}}=\left(-1,-1,1\right)$

$\stackrel{\to }{\text{AC}}=\left(-3,0,1\right)$

$\stackrel{\to }{\text{AB}}×\stackrel{\to }{\text{AC}}$ $=\left(\left(-1\right)·1-1·0,1·\left(-3\right)-\left(-1\right)·1,\left(-1\right)·0-\left(-1\right)·\left(-3\right)\right)$ $=\left(-1,-2,-3\right)$

(6)

$-1\left(x-3\right)-2\left(y-1\right)-3z$$=0$

$-x+3-2y+2-3z$$=0$

$-x-2y-3z+5$$=0$

$x+2y+3z-5$$=0$

## ■別解

$-1\left(x-2\right)-2y-3\left(z-1\right)$$=0$

$-x+2-2y-3z+3$$=0$

$-x-2y-3z+5$$=0$

$x+2y+3z-5$$=0$

(7)

$△\text{ABC}$ の面積は$\frac{1}{2}|\stackrel{\to }{\text{AB}}×\stackrel{\to }{\text{AC}}|$ である．

よって

$\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-1\right)}^{2}+{\left(-2\right)}^{2}+{\left(-3\right)}^{2}}$ $=\frac{1}{2}\sqrt{1+4+9}$ $=\frac{\sqrt{14}}{2}$

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