演習問題

風のない空気中を質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の雨滴が落下している．鉛直下向きを ${\displaystyle x}$ 軸正の向きとすると，雨滴は，速さ ${\displaystyle v\left[\text{m/s}\right]}$ に比例する大きさ ${\displaystyle mkv\left[\text{N}\right]}$ の抵抗力を，${\displaystyle x}$ 軸負の向きに受けながら落下している．雨滴の初速度を ${\displaystyle 0\text{m/s}}$ ，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，以下の設問に答えよ．

次の数を小さい方から順に並べよ．

${\displaystyle \sqrt{0.1},\sqrt[3]{0.01},\sqrt[5]{0.001}}$

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 3^{2x}>27}$

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x>0.25}$

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 1\leqq 4^t\leqq 8}$

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}>{27}^{x+1}}$

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 9^t-4\cdot 3^{t+1}+27<0}$

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 4^t-3\cdot 2^t-4<0}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^x}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=3^x}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{x-1}}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^x+1}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{x+2}-1}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{x+1}+2}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=4^x}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{2x+1}+1}$

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{3x+1}+2}$

図は $y=3$ を漸近線とする指数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

解の存在定理を用いて，方程式 ${\displaystyle 3^x=6x-1}$ が ， ${\displaystyle 0<x<1}$ の区間に実数解を持つことを示せ．