問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 9^t-4\cdot 3^{t+1}+27<0}$

■動画解説

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■答

${\displaystyle 1<t<2}$

■ヒント

${\displaystyle 9^t={\left(3^2\right)}^t={\left(3^t\right)}^2}$ 指数法則を参照

${\displaystyle 3^{t+1}=3^t\cdot 3=3\cdot 3^t}$

${\displaystyle 3^t=T}$

とおいて， ${\displaystyle T}$ の2次式と考えて不等式を解く

■解き方

 与式の左辺を変形すると

${\displaystyle {\left(3^2\right)}^t-4\cdot 3^t\cdot 3+27<0}$

${\displaystyle {\left(3^t\right)}^2-12\cdot 3^t+27<0}$

 となる．

 ここで， ${\displaystyle 3^t=T}$ とおく．

 ただし， ${\displaystyle T>0}$     ･･････(1)

 よって

${\displaystyle T^2-12T+27<0}$

${\displaystyle \left(T-9\right)\left(T-3\right)<0}$

${\displaystyle 3<T<9}$

これは(1)を満たしている．よって

${\displaystyle 3<3^t<9}$

${\displaystyle 3^1<3^t<3^2}$

底は $3$ ${\displaystyle \left(>1\right)}$ より(このページを参照)

求める ${\displaystyle t}$ の範囲は

${\displaystyle 1<t<2}$

となる．

${\displaystyle f\left(t\right)=9^t-4\cdot 3^{t+1}+27}$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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