問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数方程式の問題

■問題

図は $y=3$ を漸近線とする指数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

■解説動画

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■答

$y=-6\cdot 2^x+3$

または

${\displaystyle y=-3\cdot 2^{x+1}+3}$

■ヒント

指数関数は一般的に

${\displaystyle y=c\cdot a^x+b}$ (指数関数の一般形)　･･････(1)

と表せることを用いる．

${\displaystyle y=a^x}$ グラフの漸近線は $x$ 軸である．よって， $y=c\cdot a^x$ のグラフの漸近線も $x$ 軸となる．

$y=c\cdot a^x+b$ のグラフは， $y=c\cdot a^x$ のグラフを $y$ 軸方向に $b$ 平行移動したものになる．

したがって， $y=c\cdot a^x+b$ のグラフの漸近線は， $y=b$ となる．

■解き方

漸近線が $y=3$ より

$b=3$

が得られ，(1)は

${\displaystyle y=c\cdot a^x+3}$ ･･････(2)

となる．

グラフが点 $\left(0,-3\right)$ を通ることより

$-3=c\cdot a^0+3$ ･･････(3)

グラフが点 $\left(-1,0\right)$ を通ることより

$0=c\cdot a^{-1}+3$ ･･････(4)

(3)，(4)を連立させて， $a$ ， $b$ を求める.

(3)より

$-3=c\cdot 1+3$

$c=-6$ ･･････(5)

が得られる．(5)を(4)に代入する．

$0=-6a^{-1}+3$

${\displaystyle \frac{6}{a}=3}$

$a=2$

となる.

以上より，グラフを表す指数関数の式は

$y=-6\cdot 2^x+3$ ･･････(6)

となる．(6)は更に式変形をすることもできる．

${\displaystyle y=-6\cdot 2^x+3}$

${\displaystyle =-\left(3\cdot 2\right)\cdot 2^x+3}$

${\displaystyle =-3\cdot \left(2\cdot 2^x\right)+3}$

${\displaystyle =-3\cdot 2^{x+1}+3}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日

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