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指数関数の一般形

指数関数 y= a x のグラフを原点を中心に x 軸方向,および, x 方向に拡大した後,平行移動したグラフを表す関数は、一般的に

y=β α x +γ  ・・・・・・(1)

ただし, α>0 α1 であるとする.

と表すことができる.(1)のことをKIT数学ナビゲーションでは,指数関数の一般形ということにする.

■解説

y= a x のグラフを,原点を中心に x 軸方向に ux 方向にv 拡大した後, x 軸方向に py 方向に q 平行移動したグラフを表す関数は

yq v = a xp u  ・・・・・・(2)

となる.この式に関しては,グラフの拡大→グラフの平行移動した関数を参考にするとよい.

(2)を以下のように式変形をする.

yq v = a 1 u xp  (∵ ( a r ) s = a r s  詳しくはここを参照)

yq v = a 1 u p a 1 u x  (∵ a r a s = a r + s  詳しくはここを参照)

yq=v a 1 u p a 1 u x

y=v a 1 u p a 1 u x +q

a 1 u =α v a 1 u p =β q=γ とおくと

y=β α x +γ

となり,(1)が得られる.

y= α x のグラフの漸近線 は x軸である.よって, y=β α x のグラフの漸近線もx軸である.

y=β α x +γ のグラフは y=β α x のグラフを y 方向に γ 平行移動したものになる.

よって, y=β α x +γ のグラフの漸近線

直線 y=γ

となる.

今度は,極限を使った方法で y=β α x +γ のグラフの漸近線を求めてみる.

α > 1 のとき

lim x β α x +γ =β lim x α x +γ =β0+γ=γ

0<α<1 のとき

lim x β α x +γ =β lim x α x +γ =β0+γ=γ

α > 1 0<α<1 のいずれの場合も,直線 y=γ y=β α x +γ のグラフの漸近線となる.

 

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最終更新日: 2024年2月8日

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