演習問題

ある小球が${\displaystyle x}$ 軸上を運動している.任意の時刻${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ の小球の位置を${\displaystyle x\left[\text{m}\right]}$ とすると，${\displaystyle x\left(t\right)=2t^2-2\left[\text{m}\right]}$ と表される場合について，以下の問いに答えよ．

図のように，質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の小球を,地上の原点Oから高さ ${\displaystyle h\left[\text{m}\right]}$ の位置から,鉛直上向きに速さ ${\displaystyle v_0\left[\text{m/s}\right]}$ で投げ上げた.ここで,鉛直上向きを ${\displaystyle y}$ 軸の正の向きとする.ただし，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，空気抵抗は無視する．

図のように，質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の小球を，地上から高さ ${\displaystyle h\left[\text{m}\right]}$ のところから，水平面から角度${\displaystyle \theta }$ の方向に，速さ ${\displaystyle v_0\left[\text{m/s}\right]}$ で斜方投射した．ただし，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，空気抵抗は無視する．

時刻 ${\displaystyle t=0}$ で質量 ${\displaystyle m_1}$ の物体 ${\displaystyle 1}$ を水平に対して角度 ${\displaystyle \theta }$ の方向に初速度 ${\displaystyle v_0}$ で投げる（斜方投射）． 投げた地点を原点とし水平方向を ${\displaystyle x}$ 軸，鉛直上向きを ${\displaystyle y}$ 軸とする．また，原点から ${\displaystyle x}$ 方向へ距離 ${\displaystyle l}$ ，高さ ${\displaystyle h}$ の所から時刻 ${\displaystyle t=0}$ で質量 ${\displaystyle m_2}$ の物体 ${\displaystyle 2}$ を初速度 ${\displaystyle 0}$ で自由落下させる．物体 ${\displaystyle 1}$ の ${\displaystyle x}$ 座標および ${\displaystyle y}$ 座標はそれぞれ ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle y_1}$ ，物体 ${\displaystyle 2}$ の ${\displaystyle y}$ 座標は ${\displaystyle y_2}$ とする．空気抵抗は無視できるものとし，重力加速度を ${\displaystyle g}$ とする．

地上から ${\displaystyle 3.0\text{m}}$ の高さの位置から，質量 ${\displaystyle m〔\text{kg}〕}$ の羽と質量 ${\displaystyle 100m〔\text{kg}〕}$ の鉄球を同時に落下させた．空気抵抗を無視するとき，次の問いに答えよ．

風のない空気中を質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の雨滴が落下している．鉛直下向きを ${\displaystyle x}$ 軸正の向きとすると，雨滴は，速さ ${\displaystyle v\left[\text{m/s}\right]}$ に比例する大きさ ${\displaystyle mkv\left[\text{N}\right]}$ の抵抗力を，${\displaystyle x}$ 軸負の向きに受けながら落下している．雨滴の初速度を ${\displaystyle 0\text{m/s}}$ ，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，以下の設問に答えよ．

鉛直な細い管に通した伸び縮みせず質量を無視できるひもの先端に質量 ${\displaystyle 0.1\text{kg}}$ の小球をつけ，水平面内で図のように等速円運動をさせた．ここで小球に働く重力，ひもと管の間の摩擦及び空気抵抗は無視できるものとする．