鉛直投げ上げ運動

運動の第2法則(運動の法則)より

${\displaystyle F=ma}$ ${\displaystyle =m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$

となる．ここで，運動中に小球にかかる力は重力のみである．そして，鉛直投げ上げ運動において ${\displaystyle y}$ 軸の向きが鉛直上向きに設定されている場合，上向きの力が正の値となるので，鉛直下向きの力である重力は負の値となる．つまり，

${\displaystyle F=-mg}$

これより小球に対する運動方程式は，

${\displaystyle m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg}$

となる．

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${\displaystyle \left(1\right)}$ の運動方程式を解くと，加速度 ${\displaystyle a=-g}$ となり，小球は等加速度直線運動をしていることが分かる．
したがって，等加速度直線運動の式より任意の時刻 ${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ における小球の速度 ${\displaystyle v_y}$ は次のよ"うに表すことができる．

${\displaystyle v_y=v_0+at=v_0-gt}$

投げ上げた小球が最高点に到達したとき，速度は ${\displaystyle 0\text{m/s}}$ となるので，そのときの時刻を ${\displaystyle t_{\text{top}}\left[\text{s}\right]}$ とすると，

${\displaystyle 0=v_0-g{t}_{\text{top}}}$

となる．よって，

${\displaystyle g{t}_{\text{top}}=v_0}$   ⇒   ${\displaystyle t_{\text{top}}=\frac{v_0}{g}}$

となる．

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最高点の高さは，等加速度直線運動の式 ${\displaystyle y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$ に小球の初期位置 ${\displaystyle y_0=h\left[\text{m}\right]}$ と初速 ${\displaystyle v_0\left[\text{m/s}\right]}$，加速度 ${\displaystyle a=-g[{\text{m/s}}^2]}$ ，(2)の解である最高点に達する時間 ${\displaystyle t_{\text{top}}=\frac{v_0}{g}}$ を代入することで求められる．つまり，

${\displaystyle y_{\text{top}}(t_{\text{top}})=h+v_0\frac{v_0}{g}+\frac{1}{2}\cdot \left(-g\right)\cdot {\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2}$ ${\displaystyle =h+\frac{v_0^2}{g}-\frac{1}{2}g\frac{v_0^2}{g^2}=h+\frac{2v_0^2}{2g}-\frac{v_0^2}{2g}}$ ${\displaystyle =h+\frac{v_0^2}{2g}\left[\text{m}\right]}$

となる．

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等加速度直線運動の式 ${\displaystyle y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$ を用いることで落下にかかる時間を求めることができる．つまり，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ に達する時刻 ${\displaystyle t_1}$ のとき ${\displaystyle y=0}$ となるので， ${\displaystyle y_0=h,a=-g}$ を代入して，

${\displaystyle 0=h+v_0{t}_1-\frac{1}{2}g{t}_1^2}$   ⇒   ${\displaystyle g{t}_1^2-2v_0{t}_1-2h=0}$

解の公式を用いて，この2次方程式を解くと，

${\displaystyle t_1=\frac{v_0\pm \sqrt{v_0^2-g\cdot (-2h)}}{g}}$ ${\displaystyle =\frac{v_0\pm \sqrt{v_0^2+2gh}}{g}}$

が求まり， ${\displaystyle g>0,h>0}$ なので ${\displaystyle v_0<\sqrt{v_0{}^2+2gh}}$ より，上式において

${\displaystyle \frac{v_0-\sqrt{v_0{}^2+2gh}}{g}<0}$

となってしまう．したがって， ${\displaystyle t_1>0}$ となる解は

${\displaystyle t_1=\frac{v_0+\sqrt{v_0{}^2+2gh}}{g}\left[\text{s}\right]}$

のみである．

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等加速度直線運動の式 ${\displaystyle v=v_0+at}$ に原点 ${\displaystyle \text{O}}$ に達する直前の速度を ${\displaystyle v_1}$ として，そのときの時刻 ${\displaystyle t_1}$ を代入すると， ${\displaystyle a=-g}$ より

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_1=v_0-g{t}_1\hfill \\ =v_0-g\cdot \frac{v_0+\sqrt{v_0{}^2+2gh}}{g}\hfill \\ =v_0-v_0-\sqrt{v_0{}^2+2gh}\hfill \\ =-\sqrt{v_0{}^2+2gh}\left[\text{m/s}\right]\hfill \end{array}}$

となる．つまり，速度 ${\displaystyle v_1}$ は鉛直下向きでその大きさ(速さ)は ${\displaystyle \sqrt{v_0{}^2+2gh}\left[\text{m/s}\right]}$ である．

〈別解〉
この運動の間，小球に加わる外力は(保存力の)重力だけであり，非保存力である空気抵抗は十分に小さく無視できるものとしているため，力学的エネルギー保存の法則が成立する．したがって，投げ上げた直後の力学的エネルギー

${\displaystyle mg\times h+\frac{1}{2}m{v}_0{}^2}$

と原点${\displaystyle \text{O}}$ に達する直前(${\displaystyle y=0}$ )の力学的エネルギー

${\displaystyle mg\times 0+\frac{1}{2}m{v}_1{}^2}$

が等しくなる．

${\displaystyle \begin{array}{l}mgh+\frac{1}{2}m{v}_0{}^2=\frac{1}{2}m{v}_1{}^2\\ gh+\frac{1}{2}{v}_0{}^2=\frac{1}{2}{v}_1{}^2\end{array}}$
${\displaystyle v_1{}^2=v_0{}^2+2gh}$

よって，速さは速度の大きさだから${\displaystyle v_1>0}$ より

${\displaystyle v_1=\sqrt{v_0{}^2+2gh}\left[\text{m/s}\right]}$

が求まる．

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