ある高度からの斜方投射

斜方投射では投げられた後の物体には鉛直下向きの重力( ${\displaystyle -mg}$ )しか働かない．
したがって，${\displaystyle x}$ 軸方向に等速直線運動，${\displaystyle y}$軸方向に等加速度直線運動(鉛直投げ上げと同じ運動)をする．
よって 運動方程式は
水平方向： ${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=0}$，
鉛直方向： ${\displaystyle m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg}$
より，

${\displaystyle m\frac{d^2}{d{t}^2}\left(x,y\right)=\left(0,-mg\right)}$

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初速${\displaystyle v_0}$ を図のように${\displaystyle x,y}$成分に分解して考えると，${\displaystyle y}$軸方向の速度は${\displaystyle v_0\sin \theta }$と表される．放物運動は，各軸方向の運動を独立に考えればよいので，鉛直方向の鉛直投げ上げについて考える．
運動方程式を解くと，${\displaystyle a=-g}$ となり，小球は等加速度直線運動をしていることが分かる．
したがって，等加速度直線運動の式より任意の時刻 ${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ における小球の速度 ${\displaystyle v_y}$ は次のように表すことができる．
${\displaystyle v_y=v_0\sin \theta +at=v_0\sin \theta -gt}$

投げ上げた小球が最高点に到達したとき，速度は ${\displaystyle 0\text{m/s}}$となるので，そのときの時刻を ${\displaystyle t_{\text{top}}\left[\text{s}\right]}$ とすると，
${\displaystyle 0=v_0\sin \theta -g{t}_{\text{top}}}$ となる．
よって，
${\displaystyle \begin{array}{l}g{t}_{top}=v_0\sin \theta \\ t_{top}=\frac{v_0\sin \theta }{g}\end{array}}$
となる．

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最高点の高さは，等加速度直線運動の式 ${\displaystyle y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$ に小球の初期位置 ${\displaystyle y_0=h\left[\text{m}\right]}$ と${\displaystyle y}$ 軸方向の初速 ${\displaystyle v_0\sin \theta \left[\text{m/s}\right]}$ ，加速度 ${\displaystyle a=-g\left[{\text{m/s}}^2\right]}$ ，(2)の解である最高点に達する時間 ${\displaystyle t_{top}=\frac{v_0\sin \theta }{g}}$ を代入することで求められる．
つまり，
${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_{\text{top}}(t_{\text{top}})=h+v_0\sin \theta \frac{v_0\sin \theta }{g}+\frac{1}{2}\cdot \left(-g\right)\cdot {\left(\frac{v_0\sin \theta }{g}\right)}^2\hfill \\ =h+v_0\sin \theta \frac{v_0\sin \theta }{g}-\frac{1}{2}g\frac{v_0{}^2{\sin }^2\theta }{g^2}=h+\frac{2v_0{}^2{\sin }^2\theta }{2g}-\frac{1}{2}\frac{v_0{}^2{\sin }^2\theta }{g}=h+\frac{2v_0{}^2{\sin }^2\theta -v_0{}^2{\sin }^2\theta }{2g}\hfill \\ =h+\frac{v_0{}^2{\sin }^2\theta }{2g}\left[\text{m}\right]\hfill \end{array}}$

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等加速度直線運動の式 ${\displaystyle y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$ を用いることで落下にかかる時間を求めることができる．
つまり，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ に達する時刻 ${\displaystyle t_1}$ のとき ${\displaystyle y=0}$ となるので， ${\displaystyle y_0=h,a=-g}$ , ${\displaystyle y}$ 軸方向の初速 ${\displaystyle v_0\sin \theta }$ も代入して，
${\displaystyle \begin{array}{l}0=h+v_0\sin \theta t_1-\frac{1}{2}g{t}_1{}^2\hfill \\ g{t}_1{}^2-2v_0\sin \theta t_1-2h=0\hfill \end{array}}$
解の公式を用いて2次方程式を解くと，
${\displaystyle \begin{array}{l}{t}_1=\frac{2v_0\sin \theta \pm \sqrt{2^2{v}_0{}^2{\sin }^2\theta -4g\cdot \left(-2h\right)}}{2g}=\frac{2v_0\sin \theta \pm \sqrt{2^2\left(v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh\right)}}{2g}=\frac{2v_0\sin \theta \pm 2\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}}{2g}\\ =\frac{v_0\sin \theta \pm \sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}}{g}\end{array}}$
${\displaystyle g>0,h>0}$ なので ${\displaystyle v_0\sin \theta <\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}}$ より，
${\displaystyle \frac{v_0\sin \theta -\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}}{g}<0}$ となってしまう．
したがって，${\displaystyle t_1>0}$ となる解は
${\displaystyle t_1=\frac{v_0\sin \theta +\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}}{g}\left[\text{s}\right]}$ のみである．

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水平方向は等速直線運動なので，任意の時刻において水平方向の速度は一定で，
${\displaystyle v_x=v_0\cos \theta }$
垂直方向は等速直線運動なので，等加速度直線運動の式 ${\displaystyle v=v_0+at}$ に原点${\displaystyle \text{O}}$ に達する直前の速度を ${\displaystyle v_y}$ として，そのときの時刻 ${\displaystyle t_1}$ と ${\displaystyle y}$ 軸方向の初速 ${\displaystyle v_0\sin \theta }$ を代入すると，

${\displaystyle a=-g}$ より
${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_y=v_0\sin \theta -g{t}_1\hfill \\ =v_0\sin \theta -g\cdot \frac{v_0\sin \theta +\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}}{g}\hfill \\ =v_0\sin \theta -v_0\sin \theta -\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}\hfill \\ =-\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}\left[\text{m/s}\right]\hfill \end{array}}$

よって，原点${\displaystyle \text{O}}$ に達する直前の速さ(速度ベクトルの大きさ)は
${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_1=\sqrt{v_x{}^2+v_y{}^2}=\sqrt{{\left(v_0\cos \theta \right)}^2+{\left(\sqrt{v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}\right)}^2}\hfill \\ =\sqrt{v_0{}^2{\cos }^2\theta +v_0{}^2{\sin }^2\theta +2gh}=\sqrt{v_0{}^2\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)+2gh}\hfill \end{array}}$
${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$ より，
${\displaystyle v_1=\sqrt{v_0{}^2+2gh}}$

【別解】
この運動の間，小球に加わる外力は(保存力の)重力だけであり，非保存力である空気抵抗は十分に小さく無視できるものとしているため，力学的エネルギー保存の法則が成立する．
投げ上げた直後の力学的エネルギーは次のようになる．
${\displaystyle mgh+\frac{1}{2}m{v}_0{}^2}$
ただし，力学的エネルギー保存の法則では速さを用いるため，${\displaystyle x,y}$ 成分に分解する前の ${\displaystyle v_0}$ を使うことに注意する．
これと原点${\displaystyle \text{O}}$ に達する直前の(${\displaystyle y=0}$ )の力学的エネルギー${\displaystyle mg\times 0+\frac{1}{2}m{v}_1{}^2}$ が等しくなる．
${\displaystyle \begin{array}{l}mgh+\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}_1{}^2\\ gh+\frac{1}{2}{v}_0^2=\frac{1}{2}{v}_1{}^2\\ v_1{}^2=v_0^2+2gh\end{array}}$
よって，速さは速度の大きさだから ${\displaystyle v_1>0}$ より，
${\displaystyle v_1=\sqrt{v_0^2+2gh}\left[\text{m/s}\right]}$

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