質点の角運動量

鉛直な細い管に通した伸び縮みせず質量を無視できるひもの先端に質量 $0.1 kg$ の小球をつけ，水平面内で図のように等速円運動をさせた．ここで小球に働く重力，ひもと管の間の摩擦及び空気抵抗は無視できるものとする．

$(1)$ 等速円運動する小球について半径 $r = 0.2 m$ ，速さ $v = 2 m/s$ のとき，円の中心点のまわりの角運動量の大きさ $L$ はいくらになるか．

$L = 4 \times 10^{- 2} kg \cdot m^{2} /s$

角運動量(運動量のモーメント) $\vec{L}$ は，位置ベクトル $\vec{r}$ と運動量ベクトル $\vec{p} = m \vec{v}$ の外積であり，次のように表すことができる．
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
この問題において小球の位置ベクトル $\vec{r}$ の始点を円の中心とすると，その大きさは半径 $r$ と表される．
小球は等速円運動しているため，円の接線方向に速度ベクトルが向く．
つまり，
$\vec{r} ⊥ \vec{v}$
なので，小球の速さ $| \vec{v} | = v$ とすると
$\begin{array}{l} | \vec{r} \times m \vec{v} | = m | \vec{r} | | \vec{v} | \sin 90 ° = m r v \\ L = m v r = 0.1 \times 2 \times 0.2 = 4 \times 10^{- 2} kg \cdot m^{2} /s \end{array}$
となる．

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$(2)$ ひもをゆっくり引っ張り，等速円運動の半径を $r_{1} = 0.1 m$ に縮めたとき，小球の速さ $v_{1} [m/s]$ を求めよ．

解答

$v_{1} = 4 m/s$

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解説

ひもを引っ張るとき，小球にはたらく力は中心力である．角運動量保存の法則より，
回転運動において，小球にはたらく力が中心力のみの場合，角運動量は保存する．したがって,半径を縮める前と後で角運動量の大きさは等しいので，
$L = m v r = m v_{1} r_{1}$
が成り立ち
$L = \frac{m v r}{m r_{1}} = \frac{v r}{r_{1}} = \frac{2 \times 0.2}{0.1} = 4 [m/s]$
となる．

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学生スタッフ作成

2020年11月11日