単振り子

運動方程式 ${\displaystyle ma=F}$ に，加速度の接線方向成分 ${\displaystyle a=L\frac{d^2\theta }{d{t}^2}}$ と小球に作用する力の接線方向成分 ${\displaystyle F=-mg\sin \theta }$ を代入すると，

         ${\displaystyle mL\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mg\sin \theta }$

を得る．

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${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ を用いると， ${\displaystyle \text{(1)}}$ の運動方程式は

         ${\displaystyle mL\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mg\theta }$

となる．上式の両辺を ${\displaystyle mL}$ で割って整理すると， ${\displaystyle \theta }$ についての定数係数の2階同次線形微分方程式

         ${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }^2\theta =0}$   （ここで， ${\displaystyle \omega =\sqrt{g/L}}$ とおいた．）

を得る（これは角振動数 ${\displaystyle \omega }$ の単振動の従う微分方程式である）．
上式の特性方程式は ${\displaystyle {\lambda }^2+{\omega }^2=0}$ であるので，異なる2つの複素数解 ${\displaystyle \lambda =\pm i\omega }$ をもつ．
よって，この微分方程式の一般解は

         ${\displaystyle \theta (t)=c_1\cos \omega t+c_2\sin \omega t}$ ${\displaystyle =c_1\cos \sqrt{\frac{g}{L}}t+c_2\sin \sqrt{\frac{g}{L}}t}$

と求まる．ここで ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数である．また， ${\displaystyle A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$ ， ${\displaystyle \cos \varphi =c_1/A}$ ， ${\displaystyle \sin \varphi =-c_2/A}$ とおいて，三角関数の合成を用いると，一般解は

         ${\displaystyle \theta (t)=A\left(\frac{c_1}{A}\cos \omega t+\frac{c_2}{A}\sin \omega t\right)}$ ${\displaystyle =A\left(\cos \omega t\cos \varphi -\sin \omega t\sin \varphi \right)}$
               ${\displaystyle =A\cos (\omega t+\varphi )}$ ${\displaystyle =A\cos \left(\sqrt{\frac{g}{L}}t+\varphi \right)}$

と表せる（単振動の解としては，こちらの表式が一般的である）．ここで ${\displaystyle c_1,c_2}$ が任意定数なので， ${\displaystyle A,\varphi }$ も任意定数である（ただし ${\displaystyle A>0}$ ）．

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角振動数 ${\displaystyle \omega }$ の単振動の周期 ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$ に ${\displaystyle \omega =\sqrt{g/L}}$ を代入すると，

         ${\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}$

を得る．上式より，周期は小球の質量に依存しないので，質量を4倍にしても周期は変化しない．糸の長さを4倍にすると，

         ${\displaystyle T^{\prime }=2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}}=2\cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}$

となるので，周期は2倍になる．

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