完全微分方程式に関する問題
■問題
積分因子を求めて,次の微分方程式を解け
■答
■ヒント
積分因子の求め方
微分方程式について
・
(だけの関数)ならば,
は積分因子である.
・ (だけの関数)ならば,
は積分因子である.
⇒詳しくはこちら
■解き方
,
とおくと
,
・・・・・・(1)
P
y
−
Q
x
P
=
x−
−y+2x
xy
=
y−x
xy
・・・・・・(2)
積分因子
λ
は(1)より
λ=
e
∫
−
1
x
dx
=
e
−log
x
=
1
x
・・・・・・(3)
となる.与式の微分方程式の両辺に積分因子
λ
をかけると
ydx−
y−x
dy=0
・・・・・・(4)
となる.
(4)が完全微分方程式になっているか確認する.
∂
∂y
y=1
・・・・・・(5)
∂
∂x
−
y−x
=1
・・・・・・(6)
(5)と(6)より,(4)は完全微分方程式であるための必要十分条件を満たしている.
よって,(4)の一般解は完全微分方程式の一般解の式
∫
P
x
,
y
d
x
+
∫
Q
x
,
y
−
∂
∂
y
∫
P
x
,
y
d
x
d
y
=
c
(
c
:任意定数)
を用いると
∫
ydx+
∫
−
y−x
−
∂
∂y
∫
ydx
dy=c
xy+
∫
x−y−
∂
∂y
xy
dy=c
xy+
∫
x−y−x
dy=c
xy+
∫
−y
dy=c
xy−
1
2
y
2
=c
・・・・・・(7)
となる.(7)は与式の微分方程式の解でもある.
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xydx−x
y−x
dy=0
最終更新日:
2023年6月16日