微分方程式の問題

完全微分方程式に関する問題

■問題

積分因子を求めて,次の微分方程式を解け

xydxx yx dy=0

■答

xy 1 2 y 2 =c

■ヒント

積分因子の求め方

微分方程式 Pdx+Qdy=0 について

・  P y Q x Q =φ( x ) x だけの関数)ならば, λ= e φ( x )dx は積分因子である.

・  P y Q x P =ψ( y ) y だけの関数)ならば, λ= e ψ( y )dy は積分因子である.

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■解き方

P=xy , Q=x yx とおくと

P y =x , Q x =y+2x

P y Q x Q = x y+2x x yx = yx x yx 1 x  ・・・・・・(1)

P y Q x P = x y+2x xy = yx xy  ・・・・・・(2)

積分因子 λ は(1)より

λ= e 1 x dx = e log x = 1 x  ・・・・・・(3)

となる.与式の微分方程式の両辺に積分因子 λ をかけると

ydx yx dy=0  ・・・・・・(4)

となる.

(4)が完全微分方程式になっているか確認する.

y y=1  ・・・・・・(5)

x yx =1  ・・・・・・(6)

(5)と(6)より,(4)は完全微分方程式であるための必要十分条件を満たしている.

よって,(4)の一般解は完全微分方程式の一般解の式

P x , y d x + Q x , y y P x , y d x d y = c  ( c :任意定数)

を用いると

ydx+ yx y ydx dy=c

xy+ xy y xy dy=c

xy+ xyx dy=c

xy+ y dy=c

xy 1 2 y 2 =c  ・・・・・・(7)

となる.(7)は与式の微分方程式の解でもある.

 

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最終更新日: 2023年6月16日