完全微分方程式に関する問題

■問題

積分因子を求めて，次の微分方程式を解け

${\displaystyle xydx-x\left(y-x\right)dy=0}$

■答

${\displaystyle xy-\frac{1}{2}{y}^2=c}$

■ヒント

積分因子の求め方

微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$について

・ ${\displaystyle \frac{P_y-Q_x}{Q}=\phi \left(x\right)}$ （${\displaystyle x}$だけの関数）ならば， ${\displaystyle \lambda =e^{{\displaystyle \int \phi \left(x\right)dx}}}$は積分因子である．

・ ${\displaystyle \frac{P_y-Q_x}{P}=\psi \left(y\right)}$（${\displaystyle y}$だけの関数）ならば， ${\displaystyle \lambda =e^{-{\displaystyle \int \psi \left(y\right)dy}}}$は積分因子である．

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■解き方

${\displaystyle P=xy}$, ${\displaystyle Q=-x\left(y-x\right)}$ とおくと

${\displaystyle P_y=x}$, ${\displaystyle Q_x=-y+2x}$

${\displaystyle \frac{P_y-Q_x}{Q}=\frac{x-\left(-y+2x\right)}{-x\left(y-x\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{y-x}{-x\left(y-x\right)}}$ $$ {\displaystyle =-\frac{1}{x}}$$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{x-\left(-y+2x\right)}{xy}}$${\displaystyle =\frac{y-x}{xy}}$　･･････(2)

積分因子${\displaystyle \lambda }$ は(1)より

${\displaystyle \lambda =e^{{\displaystyle \int \left(-\frac{1}{x}\right)dx}}=e^{-\log \left|x\right|}=\frac{1}{x}}$ 　･･････(3)

となる．与式の微分方程式の両辺に積分因子${\displaystyle \lambda }$をかけると

${\displaystyle ydx-\left(y-x\right)dy=0}$　･･････(4)

となる．

(4)が完全微分方程式になっているか確認する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}y=1}$　･･････(5)

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left\{-\left(y-x\right)\right\}=1}$　･･････(6)

(5)と(6)より，(4)は完全微分方程式であるための必要十分条件を満たしている．

よって，(4)の一般解は完全微分方程式の一般解の式

を用いると

${\displaystyle xy+{\displaystyle \int \left\{x-y-\frac{\partial }{\partial y}xy\right\}dy=c}}$

${\displaystyle xy+{\displaystyle \int \left\{x-y-x\right\}dy=c}}$

${\displaystyle xy+{\displaystyle \int \left(-y\right)dy=c}}$

${\displaystyle xy-\frac{1}{2}{y}^2=c}$　･･････(7)

となる．以上より，(7)は与式の微分方程式の一般解である．

　

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最終更新日： 2025年8月20日