変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{x{y}^3+x{y}^2}{x^{3}y-xy}}$

■答

${\displaystyle \frac{y^2\left(x+1\right)}{{\left(y+1\right)}^2\left(x-1\right)}=A}$

（ただし${\displaystyle A}$は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする．

■解き方

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{x{y}^3+x{y}^2}{x^{3}y-xy}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}}$ より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =\frac{x{y}^2\left(y+1\right)}{xy\left(x^2-1\right)}}$

 ${\displaystyle =\frac{y\left(y+1\right)}{x^2-1}}$

 ${\displaystyle =\frac{y\left(y+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}$

（${\displaystyle \because x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ ）

・ ${\displaystyle y\ne 0}$ ， ${\displaystyle y\ne -1}$ の場合

${\displaystyle \frac{1}{y\left(y+1\right)}dy=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}dx}$

両辺の分数を部分分数に分解すると

⇒詳しくはこちら

${\displaystyle \left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}\right)dy}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}$

ここで両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}\right)dy}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}}$${\displaystyle +C}$

(ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}-{\displaystyle \int \frac{1}{y+1}dy}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{x-1}dx}}$${\displaystyle -\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{x+1}dx}}$${\displaystyle +C}$

${\displaystyle \log \left|y\right|-\log \left|y+1\right|}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|x-1\right|}$${\displaystyle -\frac{1}{2}\log \left|x+1\right|}$${\displaystyle +C}$

両辺を2倍すると

${\displaystyle 2\log \left|y\right|-2\log \left|y+1\right|}$${\displaystyle =\log \left|x-1\right|}$${\displaystyle -\log \left|x+1\right|}$${\displaystyle +2C}$

対数の性質より，式は次のように変形できる．

${\displaystyle \log y^2-\log {\left(y+1\right)}^2}$${\displaystyle =\log \left|x-1\right|}$${\displaystyle -\log \left|x+1\right|}$${\displaystyle +2C}$

${\displaystyle \log \left\{\frac{y^2}{{\left(y+1\right)}^2}\right\}=\log \frac{\left|x-1\right|}{\left|x+1\right|}+2C}$

この式を整理して

${\displaystyle \log \left\{\frac{y^2}{{\left(y+1\right)}^2}\right\}-\log \frac{\left|x-1\right|}{\left|x+1\right|}=2C}$

再び対数の性質を利用して

${\displaystyle \log \left\{\frac{\frac{y^2}{{\left(y+1\right)}^2}}{\frac{\left|x-1\right|}{\left|x+1\right|}}\right\}=2C}$

${\displaystyle \log \left\{\frac{y^2\left|x+1\right|}{{\left(y+1\right)}^2\left|x-1\right|}\right\}=2C}$

この式の右辺は${\displaystyle \log e^{2C}}$ と変形できるので

⇒詳しくはこちら

${\displaystyle \log \left\{\frac{y^2\left|x+1\right|}{{\left(y+1\right)}^2\left|x-1\right|}\right\}=\log e^{2C}}$

したがって

${\displaystyle \frac{y^2\left|x+1\right|}{{\left(y+1\right)}^2\left|x-1\right|}=e^{2C}}$

${\displaystyle \frac{y^2\left(x+1\right)}{{\left(y+1\right)}^2\left(x-1\right)}=\pm e^{2C}}$

${\displaystyle \pm e^{2C}=A}$ (${\displaystyle A\ne 0}$ )とおくと

${\displaystyle \frac{y^2\left(x+1\right)}{{\left(y+1\right)}^2\left(x-1\right)}=A}$

・ ${\displaystyle y=0}$ ， ${\displaystyle y=-1}$ の場合

${\displaystyle y=0}$，${\displaystyle y=-1}$ は微分方程式を満たす．このとき，${\displaystyle A=0}$ となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle \frac{y^2\left(x+1\right)}{{\left(y+1\right)}^2\left(x-1\right)}=A}$

（ただし${\displaystyle A}$は任意定数）

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月18日