変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{\prime }={sin}^{2}x\sin y\cos x$

■答

$3\log \left|\tan \frac{y}{2}\right|-{sin}^{3}x=A$

（ただし$A$は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

■解き方

$y^{\prime }={sin}^{2}x\sin y\cos x$

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ より

$\frac{dy}{dx}={sin}^{2}x\sin y\cos x$

両辺に$dx$ をかけて

$dy=\left({sin}^{2}xsinycosx\right)dx$

$\frac{1}{\sin y}dy={sin}^{2}x\cos xdx$

両辺を積分すると

$\int \frac{1}{\sin y}dy$$=\int {\sin }^{2}x\cos xdx+C$

⇒左辺の積分方法  ⇒右辺の積分方法

$\log \left|\tan \frac{y}{2}\right|=\frac{1}{3}{sin}^{3}x+C$

よって，この式を整理すると

$3\log \left|\tan \frac{y}{2}\right|-{sin}^{3}x=3C$

$3C=A$ とおくと

$3\log \left|\tan \frac{y}{2}\right|-{sin}^{3}x=A$

（ただし$A$は任意定数）

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最終更新日： 2022年5月4日