変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left({\tan }^{-1}y\right)y^{\prime }=\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}}$

■答

${\displaystyle y{\tan }^{-1}y+{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\log \left|y^2+1\right|}$${\displaystyle =C}$

（ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

■解き方

${\displaystyle \left({\tan }^{-1}y\right)y^{\prime }}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2-x^2}}{-\left(-x^2+2\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{\sqrt{2-x^2}}{2-x^2}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}}$ より

${\displaystyle \left({tan}^{-1}y\right)\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}$

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle \left({tan}^{-1}y\right)dy=\left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left({\tan }^{-1}y\right)dy}}$${\displaystyle =\int \left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx}$

⇒左辺の積分方法 　 ⇒右辺の積分方法

${\displaystyle y{\tan }^{-1}y-\frac{1}{2}\log \left|y^2+1\right|}$${\displaystyle =-{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}}$${\displaystyle +C}$

整理するとS

${\displaystyle y{\tan }^{-1}y+{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\log \left|y^2+1\right|}$${\displaystyle =C}$

（ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

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最終更新日： 2026年9月29日