微分方程式の問題

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

( tan 1 y ) y = 2 x 2 x 2 2

■答

y tan 1 y+ sin 1 x 2 1 2 log| y 2 +1 | =C

(ただし C は任意定数)

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その3 のように形式的な変形をする

g(y)dy=f(x)dx

両辺を積分して

g(y)dy= f(x)dx +C

■解き方

( tan 1 y ) y = 2 x 2 x 2 2

= 2 x 2 ( x 2 +2 )

= 2 x 2 2 x 2

= 1 2 x 2

y= dy dx より

( tan 1 y ) dy dx = 1 2 x 2

両辺に dx をかける

( tan 1 y )dy=( 1 2 x 2 )dx

両辺を積分すると

( tan 1 y )dy = 1 2 x 2 dx

⇒左辺の積分方法   ⇒右辺の積分方法

y tan 1 y 1 2 log| y 2 +1 | = sin 1 x 2 +C

整理するとS

y tan 1 y+ sin 1 x 2 1 2 log| y 2 +1 | =C

(ただし C は任意定数)

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最終更新日: 2022年5月4日