次の微分方程式の一般解を求めなさい.
( tan −1 y ) y ′ = 2− x 2 x 2 −2
y tan −1 y+ sin −1 x 2 − 1 2 log| y 2 +1 | =C
(ただし C は任意定数)
変数分離形方程式の解法 その3 のように形式的な変形をする
g(y)dy=f(x)dx
両辺を積分して
∫ g(y)dy=∫ f(x)dx +C
= 2− x 2 −( − x 2 +2 )
=− 2− x 2 2− x 2
=− 1 2− x 2
y′= dy dx より
( tan −1 y ) dy dx =− 1 2− x 2
両辺に dx をかける
( tan −1 y )dy=( − 1 2− x 2 )dx
両辺を積分すると
∫ ( tan −1 y )dy =∫ − 1 2− x 2 dx
⇒左辺の積分方法 ⇒右辺の積分方法
y tan −1 y− 1 2 log| y 2 +1 | =− sin −1 x 2 +C
整理するとS
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最終更新日: 2022年5月4日