同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}}$　　･･････(1)

■答

${\displaystyle y=Cx}$  　（ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$  とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　　･･････(2)

両辺を ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=v}$  

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=0}$  

${\displaystyle \frac{dv}{dx}=0}$  

両辺を積分すると

${\displaystyle v=C}$  (ただし${\displaystyle C}$ は任意定数)

よって

${\displaystyle \frac{y}{x}=C}$  

整理すると

${\displaystyle y=Cx}$  

 

 

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最終更新日： 2023年6月19日