同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle xy\frac{dy}{dx}=x^2+y^2}$　･･････(1)

■答

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{2\log \left|x\right|+A}}$　(ただし${\displaystyle A}$は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle xy\frac{dy}{dx}=x^2+y^2}$　･･････(1)

(1)の両辺を${\displaystyle xy}$で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$　･･････(2)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　･･････(3)

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}+v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}}$

${\displaystyle vdv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int vdv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \frac{1}{2}{v}^2=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle v}$を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)に戻すと

${\displaystyle \frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle {\left(\frac{y}{x}\right)}^2=2\log \left|x\right|+2C}$

${\displaystyle \frac{y}{x}=\pm \sqrt{2\log \left|x\right|+2C}}$

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{2\log \left|x\right|+2C}}$

${\displaystyle 2C=A}$ とおくと

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{2\log \left|x\right|+A}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>同次形微分方程式に関する問題>> ${\displaystyle xy\frac{dy}{dx}=x^2+y^2}$

最終更新日： 2023年6月19日