同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x-2y+3x{y}^{\prime }=0}$　･･････(1)

■答

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle x-2y+3x{y}^{\prime }=0}$　･･････(1)

(1)を変形すると

${\displaystyle 3x\frac{dy}{dx}=-x+2y}$

(1)の両辺を${\displaystyle x}$で割ると

${\displaystyle 3\frac{dy}{dx}=-1+2\frac{y}{x}}$　･･････(2)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　･･････(3)

これを${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle 3\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=-1+2v}$

${\displaystyle 3v+3x\frac{dv}{dx}=-1+2v}$

${\displaystyle 3x\frac{dv}{dx}=-1-v}$

${\displaystyle 3xdv=-\left(1+v\right)dx}$

${\displaystyle \frac{1}{1+v}dv=-\frac{1}{3x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+v}dv}=-{\displaystyle \int \frac{1}{3x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \log \left|1+v\right|=-\frac{1}{3}\log \left|3x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|1+v\right|+\frac{1}{3}\log \left|3x\right|=C}$

両辺に3を掛けると

${\displaystyle 3\log \left|1+v\right|+\log \left|3x\right|=3C}$

対数の性質より

${\displaystyle \log {\left|1+v\right|}^3\left|3x\right|=3C}$

右辺の${\displaystyle 3C}$ は${\displaystyle 3C=3C\log e=\log e^{3C}}$ と変形できるので(${\displaystyle \because \log e=1}$)

${\displaystyle \log {\left|1+v\right|}^3\left|3x\right|=\log e^{3C}}$

よって

${\displaystyle {\left|1+v\right|}^3\left|3x\right|=e^{3C}}$

${\displaystyle 3x{\left(1+v\right)}^3=\pm e^{3C}}$  

${\displaystyle v}$ を元に戻すと(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )

${\displaystyle 3x{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm e^{3C}}$  

両辺を3で割ると

${\displaystyle x{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm \frac{1}{3}{e}^{3C}}$  

さらに両辺に${\displaystyle x^2}$ をかけると

${\displaystyle x^3{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^3=\pm \frac{1}{3}{e}^{3C}{x}^2}$  

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=\pm \frac{1}{3}{e}^{3C}{x}^2}$

${\displaystyle \pm \frac{1}{3}{e}^{3C}=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=A{x}^2}$

${\displaystyle x+y=\sqrt[3]{A{x}^2}}$

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$　･･････(5)

${\displaystyle A=0}$のとき，(5)は

${\displaystyle y=-x}$　･･････(6)

となる．

(6)が成り立つとき

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1}$　･･････(7)

(6)，(7)を(1)の左辺に代入すると

${\displaystyle x-2\left(-x\right)+3x\cdot \left(-1\right)=0}$

となり，(6)は与式の微分方程式を満たすので、その解となる．

よって，(5)は${\displaystyle A=0}$ も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=-x+\sqrt[3]{A{x}^2}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月19日