同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(xy+x^2\right)y^{\prime }=y^2}$

■答

${\displaystyle y=A{e}^{-\frac{y}{x}}}$ 　　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \left(xy+x^2\right)y^{\prime }=y^2}$

左辺を変形すると

${\displaystyle x^2\left(\frac{y}{x}+1\right)\frac{dy}{dx}=y^2}$

両辺を${\displaystyle x^2}$ で割ると

${\displaystyle \left(\frac{y}{x}+1\right)\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$

以上を(1)に代入すると

${\displaystyle \left(v+1\right)\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=v^2}$

両辺を${\displaystyle \left(v+1\right)}$ で割ると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2}{v+1}}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{v^2}{v+1}-v}$

${\displaystyle =\frac{v^2-v\left(v+1\right)}{v+1}}$

${\displaystyle =\frac{v^2-v^2-v}{v+1}}$

${\displaystyle =\frac{-v}{v+1}}$

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{v+1}{v}dv=-\frac{1}{x}dx}$

${\displaystyle \left(1+\frac{1}{v}\right)dv=-\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(1+\frac{1}{v}\right)dv}=-{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle v+\log \left|v\right|=-\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|v\right|+\log \left|x\right|=C-v}$

また，対数の性質より

${\displaystyle \log \left|vx\right|=C-v}$

${\displaystyle \log e=1}$ より，右辺を次のように変形する．

${\displaystyle \log \left|vx\right|}$ ${\displaystyle =\left(C-v\right)\log e}$

${\displaystyle =\log e^{C-v}}$

したがって

${\displaystyle \left|vx\right|=e^{C-v}}$

${\displaystyle vx=\pm e^{C-v}}$

${\displaystyle vx=\pm e^C{e}^{-v}}$

${\displaystyle v}$ を元( ${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )に戻し，${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{-\frac{y}{x}}}$　･･････(2)

(2)において，${\displaystyle A=0}$ とすると

${\displaystyle y=0}$　･･････(3)

となる．(3)は与式の部分方程式の解ととなる．

したがって，(2)は${\displaystyle A=0}$も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=A{e}^{-\frac{y}{x}}}$　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月19日 -->